2.4 Временные функции и характеристики

Под временными характеристиками в общем случае понимается графическое изображение процесса изменения выходной величины в функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое в результате поступления на вход системы некоторого типового воздействия.

Так как дифференциальное уравнение системы тоже определяет изменение выходной величины в функции времени при некоторых начальных условиях, то временная характеристика изображает собой решение дифференциального уравнения для принятого типового воздействия и, следовательно, полностью характеризует динамические свойства системы.

Поскольку временные характеристики могут быть получены не только путем решения дифференциального уравнения, но и экспериментально, то возможность определения динамических свойств системы по временной характеристике имеет исключительно важное практическое значение, поскольку в этом случае не требуется выводить и решать дифференциальное уравнение.

В качестве типовых воздействий наиболее широкое применение находят единичное ступенчатое и единичное импульсное воздействия.

На рис. 2.9, а изображено единичное ступенчатое воздействие. Его аналитическая запись имеет вид:

Рис. 2.9 — Единичное ступенчатое (а)

и единичное импульсное (б) воздействия

При значение единичного ступенчатого воздействия не определено.

Нормировнным импульсным воздействием считается единичный импульс, т.е. импульс, у которого произведение длительности на величину равно единице. На рис. 2.9, б изображены графики единичных импульсов.

,

где достаточна мала.

Пределом, к которому стремится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю, является единичная импульсная функция (-функция, функция Дирака), для которой имеют место следующие соотношения:

причем

.

Легко видеть, что

. (2.13)

Графическое изображение реакции системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой.

Аналитическое выражение переходной характеристики обозначается и называетсяпереходной функцией.

Пусть на вход САУ с передаточной функцией подано единичное ступенчатое воздействие, изображение которого. Тогда изображение выходной величины будет равно.

Из курса высшей математики известно [1—3], что

,

где —-й полюс изображения(корень уравнения) и по этим полюсам вычисляется сумма вычетов.

Пусть передаточная функция имеет толькопростых полюсов, отличных от нуля, тогдабудет иметь один нулевой полюс ипростых полюсов и формула для расчета переходной функции будет иметь вид:

, (2.14)

где — производная от характеристического полинома, вычисленная для-го полюса передаточной функции.

Вариант простых полюсов является наиболее распространенным, однако в некоторых случаях может содержать один нулевой полюс. Тогда изображениеможно представить в виде, где— часть характеристического полинома, содержащая толькопростых полюсов. Тогда переходную функцию можно рассчитать по формуле:

. (2.15)

Формулы (2.14) и (2.15) удобно применять при расчете переходных характеристик САУ в системе MathCAD.

Зная переходную функцию, можно восстановить передаточную функцию САУ. Если , то

. (2.16)

Графическое изображение реакции системы на единичное импульсное воздействие называется импульсной переходной характеристикой.

Аналитическое выражение импульсной переходной характеристики обозначается и называетсяимпульсной переходной функцией или весовой функцией (функцией веса).

При практических расчетах наиболее широкое применение находит временная характеристика в виде переходной характеристики, так как ее достаточно просто получить экспериментально и, кроме того, определяемый ею переходный процесс часто возникает при включениях и изменениях задающего воздействия.

При поступлении на вход САУ величины на выходе получаем импульсную переходную характеристикуили в преобразованном по Лапласу виде:

,

т.е.

. (2.17)

Установим связь между переходной и импульсной переходной функциями, приравняв правые части выражений (2.16) и (2.17):

.

Но так как умножение изображения на оператор соответствует операции дифференцирования оригинала, то

Таким образом, импульсная переходная функция является производной от переходной функции. Вообще говоря, эта связь для линейных непрерывных САУ очевидна, она вытекает из равенства (2.13).