Геометрическая интерпретация условий устойчивости.

Корни характеристического уравнения удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости, по осям которой откладываются действительные и мнимые части этих корней (рис. 3). Такая плоскость называется плоскостью корней. Если вещественная часть какого-либо корня отрицательна, то точка, изображающая этот корень, будет лежать слева от мнимой оси. Следовательно, для того, чтобы система автоматического регулирования была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения Д(р)=0 располагались в плоскости корней слева от мнимой оси, т.е. были левыми.

При изменении параметров системы корни, перемещаясь в комплексной плоскости, могут перейти из левой половины плоскости в правую, т.е. стать правыми, что будет свидетельствовать о превращении устойчивой системы в неустойчивую. Таким образом, мнимая ось является как бы границей, разделяющей плоскость корней на две области, одна из которых соответствует устойчивости системы, другая – неустойчивости.

Говорят, что система находится на границе устойчивости, если пара комплексно-сопряженных корней (колебательная граница устойчивости) или один действительный корень (апериодическая граница устойчивости) лежат на мнимой оси, а все остальные располагаются слева от этой оси.

Рис. 3

При исследовании систем автоматического регулирования возникает вопрос о справедливости суждения об устойчивости нелинейной системы по ее линеаризованным уравнениям или, как еще говорят, по уравнениям первого приближения. Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах русского ученого, основоположника теории устойчивости А.М. Ляпунова, которые мы приведем без доказательства:

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные вещественные части, то исходная система, описываемая нелинейными уравнениями, будет устойчивой.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то исходная нелинейная система будет неустойчивой.

Теорема 3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение исходной нелинейной системы не может быть определено по линеаризованным уравнениям и необходимо проводить дополнительное исследование для решения вопроса об ее устойчивости.

Эти теоремы относятся к случаю «устойчивости в малом».

Таким образом, если характеристическое уравнение решено и корни его известны, то легко судить о том, устойчива система или нет. Однако вычисление корней просто произвести только для уравнений первой и второй степени. Общие выражения для корней уравнений 3-й и 4-й степени известны, но очень громоздки и практически мало удобны. Уравнения более высоких степеней вообще не имеют общих выражений, и решение их связано с очень большими трудностями.

Поэтому в теории автоматического регулирования были разработаны правила, которые позволяют судить об устойчивости системы, минуя вычисление корней. Эти правила называются критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только судить об устойчивости системы, но и выяснить влияние тех или иных параметров и элементов схемы на устойчивость.

Рассмотрим несколько критериев устойчивости.

3. Критерий устойчивости Гурвица

Для того, чтобы судить об устойчивости, нужно определить, имеет ли характеристическое уравнение корни с положительной вещественной частью. О наличии корней с положительной вещественной частью можно судить по коэффициентам характеристического уравнения. Правила, по которым можно определить, имеет ли система корни с положительной вещественной частью, были формулированы независимо друг от друга английским математиком Раусом (1887) и швейцарским математиком Гурвицем (1895) и получили название критериев Рауса и Гурвица.

Приведем без доказательства формулировку критерия Гурвица.

Пусть дано характеристическое уравнение замкнутой системы

Для суждения об устойчивости системы по критерию Гурвица их коэффициентов этого уравнения составляется определитель порядка n, называемый главным определителем Гурвица.

Главный определитель Гурвица образуется следующим образом. По главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения , начиная со второго (а1) до последнего (а_n) включительно. Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами по возрастающим индексам, а столбцы вниз - коэффициентами по убывающим индексам. Остающиеся пустые места заполняются нулями.

Критерий Гурвица гласит: система устойчива, если а0 и все определители положительны, причем

и т.д.

Т.е. если .

Нетрудно убедиться, что все эти определители образуются из главного определителя Гурвица путем последовательного вычеркивания столбцов и строк.

Если главный определитель равен нулю, то система находится на границе устойчивости. Так как =а0 , то это возможно в двух случаях:

1) a_n=0,

2) =0,

В первом случае говорят об апериодической границе устойчивости, во втором – о колебательной границе устойчивости.

Пример. Пусть дано уравнение третьего порядка

Найдем определители Гурвица:

Так как а0=1>0, >0, >0, >0, то система устойчива.

4. Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий был предложен советским ученым А.В.Михайловым в 1938 году. В основе его лежит понятие годографа характеристического многочлена (или годографа характеристического уравнения).

Рассмотрим характеристический многочлен замкнутой системы

(8)

Заменяя в (8) р на jw, получим

.

При каждом значении w величина будет представлять собой вектор на комплексной плоскости. При изменении w от -∞ до ∞ конец этого вектора опишет кривую, называемую годографом характеристического уравнения. Критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости системы по виду годографа характеристического уравнения.

Рассмотрим на примере способ построения годографа характеристического уравнения. Пусть имеется характеристический многочлен

Д(р)=р²+2р+5.

Подставляя в это выражение вместо р значение jw получим

Д(jw)=5-w²+j2w=A(w)+jB(w),

где A(w)=5-w² – вещественная часть годографа;

B(w)=2w – мнимая часть годографа.

Сам годограф легко построить по точкам (рис. 4), задаваясь несколькими значениями w в пределах от -∞ до +∞.

Рис. 4

Данные для построения приведены в таблице:

w	A A(w)	B(w)
0 ±1 ±5 ±10	5 4 -20 -95	0 ±2 ±10 ±20

Около каждой точки годографа указывают значение частоты. Как видим, при замене w на –w получается комплексно-сопряженное значение для годографа. Это не случайно. Выражение Д(р) аналогично выражению для передаточной функции W(p) и переход от Д(р) и Д(jw) производится так же, каки переход от передаточной функции W(p) к амплитудно-фазовой характеристике W(jw). Следовательно, и свойства выражения Д(jw)аналогичны свойствам АФХ. В частности, при замене w на –w мы приходим к комплексно-сопряженному выражению

Д(-jw)=Д*(jw).

Поэтому во многих случаях можно ограничиться рассмотрением только одной ветви годографа, соответствующей положительным значениям. Для получения критерия устойчивости Михайлова представим годограф Д(jw) в ином виде. Обозначим через р1, р2, …, р_n корни характеристического уравнения Д(р)=0. Тогда характеристический многочлен можно представить в виде

(9)

Заменяя р на jw, получим следующее выражение для годографа:

.

Рассмотрим какое-то значение w=w1. Обозначим через argД(jw) угол, который составит вектор Д(jw) с вещественной осью при w=w1, т.е.

Α=argД(jw) (10)

при w=w1.

Это иллюстрируется на рис. 5.

Рис. 5

Поставим задачу определить, насколько изменится аргумент Д(jw) при изменении w от -∞ до +∞, т.е. найдем величину

Так как Д(jw) представляется в виде произведения отдельных сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей, но изменение аргумента Д(jw) равно сумме изменений аргументов сомножителей

(11)

Вид отдельных сомножителей Д(jw) определяется значением корней р_к характеристического уравнения. Здесь могут быть два случая:

А) Вещественная часть корня р_к отрицательна, т.е. Re p_k<0.

Б) Вещественная часть корня р_к положительна, т.е. Re p_k>0.

Изобразим сомножители выражения (9) в виде векторов на комплексной плоскости и определим изменение их аргумента, считая поворот вектора против часовой стрелки положительным. (рис. 6).

Из этого рисунка непосредственно видно, что

(12)

Рис. 6

Предположим, что характеристическое уравнение имеет q корней с положительной вещественной частью, а значит n-q корней с отрицательной вещественной частью. При этом в соответствии с выражениями (11) и (12) изменение аргумента равно:

Учитывая симметрию годографа , выражаемую соотношением (8,а), можем ограничиться рассмотрением диапазона изменения w от 0 до ∞. При этом изменение аргумента будет в два раза меньше:

Если число корней с положительной вещественной частью равно нулю, т.е. q=0, то

(13)

Это соотношение и выражает критерий Михайлова, который может быть сформулирован следующим образом: Система автоматического регулирования устойчива, если при возрастании w от 0 до ∞, вектор Д(jw) повернется на угол против часовой стрелки, где n – степень характеристического уравнения системы, или, что то же самое, если годограф характеристического уравнения при изменении w от 0 до ∞ обходит последовательно n квадратов комплексной плоскости, начиная с положительной действительной оси, нигде не обращаясь в нуль.

На рис. 8 приведены годографы устойчивых (а) и неустойчивых (б) систем для некоторых значений n.

Заметим, что критерий Михайлова можно использовать также для определения устойчивости разомкнутой системы. При этом необходимо строить годограф характеристического уравнения разомкнутой системы D(jw), получаемый из характеристического многочлена разомкнутой системы D(p) путем замены р на jw.

Рис. 8

5. Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий был первоначально разработан в 1932 году Найквистом для исследования устойчивости усилителей с отрицательной обратной связью. В 1938 году советский ученый А.В.Михайлов, обратив внимание на общность основного принципа действия усилителей с обратной связью и систем автоматического управления, применил этот метод в теории автоматического управления.

Сущность критерия Найквиста в том, что он позволяет по виду АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. При этом АФХ разомкнутой системы может быть или получена расчетным путем из выражения для передаточной функции, или снята экспериментально.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

так что АФХ равна

.

Рассмотрим новую функцию f(jw), связанную с соотношением

. (14)

Здесь представляет собой годограф характеристического уравнения разомкнутой системы, а Д(jw) – замкнутой системы.

Критерий устойчивости рассмотрим для нескольких случаев.

А) Разомкнутая система устойчива.

Устойчивость разомкнутой системы можно установить без всяких вычислений по структурной схеме системы. Так, например, разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и не содержащая обратных связей, всегда устойчива. Если имеются звенья, содержащие обратную связь, то эти звенья надо исследовать особо.

Если разомкнутая система устойчива, то на основании критерия Михайлова изменение аргумента будет равно

,

где n – степень характеристического уравнения разомкнутой системы, совпадающая со степенью характеристического многочлена замкнутой системы Д(р)=D(р)+К(р), т.к. для физически осуществимых систем степень К(р) меньше степени D(р).

Изменение аргумента Д(jw) в общем случае равно

,

где q – число корней характеристического уравнения Д(р)=0, лежащих в правой части комплексной плоскости, т.е. число правых корней.

Изменение аргумента f(jw) равно разности изменений аргументов числителя Д(jw) и знаменателя D(jw), т.е.

.

Замкнутая система устойчива, если q=0, т.е. когда

Если представить годограф на комплексной плоскости (рис. 9), то нетрудно установить, что вектор при изменении w от 0 до ∞ опишет не комплексной плоскости угол, равный нулю, лишь в том случае, если годограф не охватывает начала координат. В этом случае замкнутая система устойчива.

От годографа f(jw) нетрудно перейти к АФХ разомкнутой системы (рис. 10).

W(jw)=f(jw)-1,

которая представляет собой ту же кривую , но сдвинутую на единицу влево. При этом изменение аргумента при изменении w от 0 до ∞ будет равно нулю, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1,j0) (рис. 10).

Рис. 9

Рис. 10

Следовательно, если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система будет также устойчива, при условии, что АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1,j0).

Особо следует выделить случай, когда АФХ проходит через точку (-1,j0) и поэтому находится на границе устойчивости. Такому положению АФХ соответствует критический, или предельный, коэффициент усиления k_кр.

Б) Разомкнутая система неустойчива.

Такой случай может встретиться при рассмотрении систем, содержащих неустойчивые звенья, ли неустойчивые замкнутые контуры.

Пусть характеристическое уравнение разомкнутой системы D(р) имеет l корней в правой полуплоскости.

Тогда изменение аргумента D(jw) будет равно:

Если замкнутая система устойчива, то

.

При этом

.

Следовательно, кривая при изменении w от 0 до ∞ должна охватывать начало координат l/2 раз, а АФХ разомкнутой системы должна охватывать (-1,j0) l/2 раз.

Вывод. Система автоматического регулирования будет устойчивой, если АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами (-1,j0) l/2 раз в положительном направлении, где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

На рис. 11 приведена АФХ W(jw) устойчивой системы для случая, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет два корня с положительной вещественной частью.

Рис. 11

В) Разомкнутая система нейтрально-устойчивая

АФХ нейтрально устойчивой разомкнутой системы начинается в бесконечности, т.е. характеристика не является замкнутой, что затрудняет применение критерия Найквиста. Чтобы распространить критерий Найквиста на этот случай, необходимо подробнее исследовать, как ведет себя АФХ при w→0, т.е. в бесконечности. Вспомним, что АФХ разомкнутой системы получается из передаточной функции при р=jw. Изобразим р на комплексной плоскости (рис. 12).

Рис. 12

При изменении w от 0 до ∞ функция р=jw меняется вдоль мнимой оси от 0 до +j∞. При w=0 р находится в начале координат (р=0), благодаря чему выражение для передаточной функции обращается в бесконечность, что затрудняет исследование АФХ. Это затруднение можно обойти следующим приемом. Рассмотрим некоторый другой закон изменения р такой, чтобы при р≠0 имело место р=jw, но при р→0 начало координат было исключено, как, например, показано на рис. 13.

Рис. 13

Следовательно, при всех конечных р (р≠0) имеем обычную АФХ

Однако при р→0 закон изменения р другой:

р=rе^jψ, причем r→0, а ψ меняется от 0 до π/2.

Следовательно, при р→0

При таком законе изменения р мы получим обычный вид АФХ для всех конечных значений w, т.к. р=jw, и мы можем исследовать вид АФХ при р→0, т.е. в бесконечности.

Учитывая, что при р→0, r→0, а ψ меняется от 0 до π/2, получим W(р)=Rе ^–jνψ, где R=∞, а νψ меняется от 0 до ν π/2.

Следовательно, при р→0, а значит при w→0, АФХ представляет собой дугу бесконечно большого радиуса, который описывает угол от 0 до ν π/2 в отрицательном направлении. Например, при ν =1 ν π/2= π/2. Из рис. 14 видно, что характеристика получилась замкнутой и к ней можно применить критерий Найквиста.

Рис. 14