logo
ТАУ

1) Частотные характеристики разомкнутой системы

а) Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы

Математическое выражение для передаточной функции разомкнутой системы значительно проще, чем математическое выражение для передаточной функции замкнутой системы. Поэтому в теории автоматического управления во многих случаях оказывается целесообразным рассматривать передаточную функцию разомкнутой системы и по ее свойствам судить о свойствах замкнутой системы. С этой точки зрения важное значение имеет рассмотрение частотных характеристик разомкнутой системы.

По аналогии с АФХ звена, АФХ разомкнутой системы получается из выражения для ПФ разомкнутой системы W(p) путем замены р на jw и обозначается W(jw)

.

АФХ разомкнутой системы определяет ее реакцию на синусоидальный входной сигнал. Ее математическое выражение может быть представлено в показательной или алгебраической форме:

.

Отдельные величины, входящие в это выражение, определяют следующие частотные характеристики разомкнутой системы

R(w)=modW(jw)=|W(jw)| - амплитудная частотная характеристика;

=argW(jw) – фазовая частотная характеристика;

U(w)=ReW(jw) – вещественная частотная характеристика;

V(w)=JmW(jw) – мнимая частотная характеристика.

АФХ разомкнутой системы строится на комплексной плоскости в координатах U,V при изменении w от 0о до ∞ (рис. 1). При отрицательных w АФХ может быть определена из соотношения

W(-jw)=Wk(jw)

аналогично соответствующему соотношению для АФХ.

Конкретный вид графика АФХ можем уточнить, рассмотрев общее выражение для передаточной функции:

,

тогда соответствующая ей АФХ будет равна

рис. 1

Рассмотрим характер W(jw) при предельных значениях w, равных бесконечности и нулю.

При w→∞ . Это следует из того, что степень многочлена К(р) не превосходит степени многочлена D(p),т.е. degD>degK, и, следовательно, при увеличении w знаменатель выражения для W(jw) растет значительно быстрее, чем числитель.

При w→0 поведение АФХ зависит от числа интеграторов.

Если ν=0, то

Если ν≠0, то

Значения W(jw) при w→0 для различных ν удобно задать таблицей. Графики АФХ разомкнутой системы для различных значений ν приведены на рис. 2.

ν

0

1

2

3

4

k

-j∞

-∞

+j∞

+∞

Выражение L(w)=20lgR(w) есть амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы, выраженная в децибелах. Фазовую частотную характеристику φ(w) будем выражать в градусах или в радианах.

Теперь перейдем к определению логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) называется график зависимости L(w)=20lgR(w), построенный в логарифмическом масштабе частот (lgw).

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называется график φ(w), построенный в логарифмическом масштабе частот (lgw).

Б) Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы

Часто осуществляют декомпозицию ПФ разомкнутой системы, т.е. представляют ее в виде произведения типовых динамических звеньев. В качестве таких звеньев принимают:

А) Форсирующее звено второго порядка с ПФ ;

Б) Форсирующее звено первого порядка с ПФ W(p)=Tp+1;

В) Апериодическое звено с ПФ W(p)=(Tp+1)-1;

Г) Колебательное звено с ПФ ;

При этом ПФ разомкнутой системы

состоит из сомножителей типа двучленов Тр+1 и квадратичных трехчленов , расположенных в числителе или знаменателе этой ПФ, а также из сомножителя k/pν.

Очевидно, что сомножителю в знаменателе соответствуют апериодическое или колебательное звено, сомножителю, стоящему в числителе соответствует форсирующее звено первого или второго порядка. Обозначим сомножитель ПФ через Wk(p). Тогда ПФ разомкнутой системы может быть записана в виде

,

где символ П обозначает произведение

по аналогии с символом , обозначающим сумму

Полагая p=jw, получим выражение АФХ разомкнутой системы:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика равна

,

где представляет собой ЛАЧХ отдельного сомножителя.

Следовательно, ЛАЧХ разомкнутой системы равна алгебраической сумме логарифмических частотных характеристик отдельных сомножителей передаточной функции, причем отдельные слагаемые берутся со знаком «+» или « - » в зависимости от того, где стоит соответствующий сомножитель: в числителе или знаменателе передаточной функции.

Фазовая частотная характеристика разомкнутой системы равна

,

где . Как видно, фазовая частотная характеристика разомкнутой системы равна сумме фазовых частотных характеристик отдельных сомножителей передаточной функции, взятых со знаком «+» или « - » в зависимости от того, стоит ли соответствующий сомножитель в числителе или знаменателе передаточной функции.

Таким образом, для построения вручную логарифмических частотных характеристик системы необходимо построить логарифмические частотные характеристики для отдельных сомножителей передаточной функции и сложить их алгебраически. Поэтому первая задача состоит в том, чтобы научиться строить логарифмические частотные характеристики отдельных сомножителей передаточной функции.

В) Логарифмические частотные характеристики основных сомножителей передаточной функции

Из выражения видно, что одним из сомножителей передаточной функции является сомножитель k/pν. Кроме того, в выражение W0(p) могут входить сомножители вида (Тр+1) и ( ). Сомножители других типов встречаются крайне редко, и мы остановимся на построении логарифмических частотных характеристик лишь для этих трех типов сомножителей.

1. Сомножитель k/pν имеет амплитудно-фазовую характеристику

.

Следовательно, R(w)= и φ(w)=-ν*π/2.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид

L(w)=20lg =20lgk-20ν lgw.

В логарифмическом масштабе частот lgw это есть уравнение прямой линии. Ее можно построить, зная координаты одной из точек и наклон к оси абсцисс.

Определим ординату этой прямой при w=1:

.

Для определения наклона найдем, насколько изменится ордината L(w) при изменении w на одну декаду, т.е. в 10 раз. Полагая w2=10w1, получим:

L(w2)=20lgk-20νlg10w1=

=20lgk-20νlgw1-20νlg10=

=L(w1)-20ν [дБ]

Следовательно,

L(w2)-L(w1)=-20ν [дБ]

Итак, характеристика L(w), соответствующая сомножителю k/pν, есть прямая линия с наклоном -20ν дБ/дек, имеющая при w=1 ординату 20lgk[дБ] (рис. 3а).

Фазовая характеристика, определяемая выражением φ(w)=-ν*π/2 представлена на рис. 3б.

Рис. 3

2. Сомножитель (Тр+1) имеет амплитудно-фазовую характеристику форсирующего звена первого порядка

,

где φ(w)=arctgwT.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика равна:

L(w)=20lg .

Точный вид этой характеристики сложен, но мы можем рассмотреть упрощенную характеристику, так называемую асимптотическую характеристику (рис. 4).

Точная характеристика L(w) показана на рис. 4 пунктиром. Она отличается от асимптотической лишь вблизи сопрягающей частоты w1=1/T.

Рис. 4

При расчете систем автоматического управления во многих случаях можно ограничиться построением асимптотической характеристики.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика данного сомножителя равна φ(w)=arctgwT. Вид этой характеристики показан на рис.5.

Рис. 5

3. Сомножитель вида соответствует ПФ передаточной характеристики форсирующего звена второго порядка при ξ<1.

АФХ этого сомножителя, другими словами, АФХ форсирующего звена второго порядка имеет вид

,

где φ(w)=arctg .

При этом

.

Вид характеристики получается в данном случае достаточно сложным, но мы можем опять построить асимптотическую характеристику (рис. 6).

Рис. 6

Частота w1=1/T и в этом случае называется сопрягающей частотой. Действительная характеристика может сильно отличаться от асимптотической, особенно вблизи точки сопряжения. Для построения точной характеристики необходимо использовать MATLAB.

Логарифмическая фазовая характеристика определяется выражением

φ(w)=arctg .

Рис. 7

Ее можно строить прямо по формуле или воспользоваться MATLAB.

Г) Правила построения ЛАЧХ разомкнутых систем

При построении фазовой характеристики системы автоматического управления φ(w) вручную предварительно строятся фазовые характеристики для всех сомножителей ПФ, а затем производится сложение их ординат. При этом фазовые характеристики сомножителей, стоящих в числителе ПФ, берутся со знаком «+», а стоящих в знаменателе со знаком « - ».

Амплитудная характеристика L(w) также равна алгебраической сумме амплитудных характеристик отдельных сомножителей передаточной функции. При этом надо учесть, что характеристики, соответствующие сомножителям (1+Тр) и ( ), равны нулю вплоть до сопрягающей частоты. Поэтому при частотах, меньших наименьшей сопрягающей частоты, характеристика L(w) определяется только сомножителем k/pν (низкочастотный участок характеристики). После каждой из сопрягающих частот сомножитель, соответствующий этой сопрягающей частоте, будет вносить свой вклад в общую характеристику, изменяя ее наклон на ± 20 дБ/дек или ± 40 дБ/дек, в зависимости от типа сомножителя. Таким образом, можно сформулировать следующее правило построения логарифмической амплитудной частотной характеристики L(w):

1. Приводим ПФ разомкнутой системы к стандартному виду , где W0(p) – произведение сомножителей типа (Тр+1) или ( ).

2. Определяем сопрягающие частоты всех сомножителей передаточной функции и откладываем их на оси частот.

3. Проводим низкочастотный участок характеристики, представляющий собой прямую с наклоном -20ν дБ на декаду и имеющей при w=1 ординату 20lgk.

4. После каждой из сопрягающих частот изменяем наклон характеристики на ± 20 дБ/дек в случае сомножителя (Тр+1) и на ± 40 дБ/дек в случае сомножителя ( ). Знак «+» или « - » ставим в зависимости от того, находится ли соответствующий сомножитель в числителе или в знаменателе передаточной функции.

5. В случае необходимости уточняем вид полученной асимптотической характеристики с помощью MATLAB.

В качестве примера построим характеристику L(w) следящей системы с передаточной функцией

.

Пусть k=100 c-1, T3=0.05c, T2=2c, T1=20c.

Тогда . Сопрягающие частоты в порядке их возрастания равны: w1=1/20=0.05c-1; w2=1/2=0.5c-1; w3=1/0.05=20c-1.

Так как ν=1 и 20lgk=40 дБ, то низкочастотный участок аb есть прямая с наклоном -20дБ/дек, имеющая при w=1 ординату 40 дБ. Точка b соответствует сопрягающей частоте w1 сомножителя (1+20р), стоящего в знаменателе. Следовательно, в этой точке наклон характеристики изменится на -20дБ/дек, и участок bc будет иметь наклон -40дБ/дек. Аналогичным образом определяется изменение наклона в точках c и d.

Частота wc, при которой характеристика L(w) пересекает ось абсцисс, называется частотой среза. Так как L(wc)=20lgR(wc)=0, то R(wc)=1. Следовательно, частота среза - это такая частота, при которой модуль амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы равен единице.

Рис. 9

Фазовая характеристика определяется из выражения

φ(w)=-π/2-arctgwT1-arctgwT3+arctgwT2

На рис. 9 изображена зависимость φ(w) и показаны характеристики, соответствующие отдельным сомножителям.

При наличии современных вычислительной техники преимущества асимптотических характеристик кажутся незначительными; несложная программ выдает с компьютера эти графики, построенные с точностью, превышающей практические требования. Однако этот упрощенный способ построения частотных характеристик продолжает использоваться на практике не только в силу склонности инженерного мышления к установившейся традиции, но и благодаря тем достоинствам, которые имеют асимптотические ЛЧХ при решении следующей задачи: дан график АЧХ, требуется найти передаточную функцию минимально-фазового устройства, АЧХ которого близка к заданной.