6. Звено второго порядка.

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

(39)

принято записывать в стандартном виде

, (40)

где - постоянная времени звена; - коэффициент демпфирования, который определяет склонность переходных процессов к колебаниям, ; k=b/ - коэффициент усиления.

Передаточную функцию звена получим на основе символической записи дифференциального уравнения

в виде

(41)

Для определения модальных характеристик запишем характеристическое уравнение звена

=0 (42)

Оно имеет два корня (полюса), которые в зависимости от коэффициента демпфирования могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, что приводит к различным переходным процессам. Рассмотрим варианты корней.

1. Если ≥1, то корни уравнения (42) вещественные и положительные. Обозначим их через и получим переходную функцию (рис. 20) в виде

(43)

2. Если 0≤ <1, то корни уравнения (42) будут комплексно-сопряженными, т.е. . При =0 получаем

В случае, когда коэффициент демпфирования изменяется в диапазоне 0< <1, звено второго порядка называют колебательным. Выражение для его переходной характеристики следующее:

(44)

Причем колебательность переходного процесса будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования . В пределе при =0 будут иметь место незатухающие колебания. В этом случае звено называется консервативным. Соответствующие графики переходных процессов представлены на рис. 21.

Определим выражение для общей частотной характеристики колебательного звена, заменив р на jw в передаточной функции (41):

(45)

Запишем выражение для вещественной частотной характеристики

(46)

и мнимой частотной характеристики:

(47)

На основе (46) и (47) построим АФХ на комплексной плоскости, рассматривая характерные точки: w=0, w=1/T,…,w→∞. Ее вид существенно зависит от коэффициента демпфирования (рис. 22).

Амплитудно-фазовая характеристика консервативного звена ( =0) начинается в точке k на вещественной оси и при увеличении w стремится к +∞, а затем из -∞ - к началу координат.

Амплитудная частотная характеристика строится на основе выражения

(48)

и может иметь резонансный пик, высота которого будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования.

Формула для фазовой частотной характеристики имеет вид

(49)

Построение ЛАЧХ колебательного звена (при 0< <1) осуществляется по соотношению, полученному из (48):

(50)

При значениях коэффициента демпфирования в интервале 0,3≤ ≤1 можно строить упрощенную асимптотическую ЛАЧХ, рассматривая отдельно области высоких и низких частот.

В области низких частот (w<<1/T) асимптота имеет вид L1(w)=20lgk.

В области высоких частот, когда w>>1/T, получим вторую асимптоту (рис. 23) L2(w)=20lgk-40lg(Tw).

На сопрягающей частоте колебательного звена w0=1/T справедливо соотношение L1(w0)=L2(w0).

Наибольшее отличие асимптотической ЛАЧХ от действительной характеристики наблюдается на частоте w0 (рис. 24) и зависит от величины коэффициента демпфирования.

При значениях <0,3 не следует пользоваться асимптотической ЛАЧХ, а нужно строить точную ЛАЧХ.

При >1 корни характеристического уравнения (42) будут вещественными и передаточную функцию звена второго порядка (41) можно представить в виде произведения двух передаточных функций апериодических звеньев:

(51)

где - постоянные времени апериодических звеньев. В этом случае асимптотическая ЛАЧХ звена второго порядка имеет два «излома» на частотах w1=1/T1,w2=1/T2.

Она может быть получена суммированием асимптотических ЛАЧХ двух апериодических звеньев.