logo
ТАУ

Минимально-фазовые звенья

В общем случае ;

где

k’=b0/a0 - приведенный коэффициент усиления;

; ;

.

Это приведенные многочлены (коэффициент при старшем члене равен 1).

По теореме Безу:

Здесь zj, - нули ПФ; si, - полюса ПФ.

Как видим, M(p) и N(p) – приведенные многочлены.

zj находятся как корни M(p)=0; W(p)=0

si - находятся как корни N(p)=0; W(p)=

Если N и M не содержат общих множителей, то говорят, что zj и si - нули и полюса звена.

Определение. 1.Звено называется минимально-фазовым, если вещественные части всех его нулей и полюсов являются отрицательными или тождественно равными нулю.

2. Звено называется неминимально-фазовым, если оно содержит хотя бы один нуль или полюс с положительной вещественной частью.

Условие минимальной фазности:

Re Si≤0, , Re Zj≤0,

Неминимально-фазовые звенья, содержащие полюсы с положительной вещественной частью называются неустойчивыми звеньями.

Пример. Рассмотрим апериодическое звено с ПФ: , Т>0

Следовательно, имеет полюс S1=-1/T <0 – минимально-фазовое звено.

Рассмотрим неустойчивое апериодическое звено с ПФ: ;

S1=1/T >0 – неминимально-фазовое звено.

ЛАЧХ: L(w)=La(w) ; L(w) – неустойчивого, La(w) – апериодического.

ФЧХ: (w)=-[π+ a(w)], где а(w)=-arctg wT (1)

| (w)|>| a(w)|, , кроме

w

а(w)

(w)

-π/2

0

К минимально-фазовому звену из множества звеньев с одинаковыми ЛАЧХ, относится 1 звено с ФЧХ (1)

Выражение для ФЧХ минимально-фазового звена по теореме Бодэ

(w)= , (*)

где =lg w.

Из этого выражения следует, что для минимально-фазового звена:

  1. можно найти (w) по L(w);

  2. выражение (w) для ФЧХ при =lg w в основном определяется наклоном L(w), т.к. - малая величина.

Условие минимальной фазности позволяет находить W(p) по L(w), и по W(p) находить (w), особенно просто по асимптотической ЛАЧХ.

Пример. Известна ЛАЧХ минимально-фазового звена. Надо найти W(p).

La

-20

w

0

5

20

Так как 20lgk=20, а следовательно, k=10; 1/T=5, поэтому T=0.2.

ПФ W(p)=10/(0.2p+1), т.к. звено минимально-фазовое. Отсюда ЛФЧХ

(w)=-arctg0.2w.