Раздел 2.

Операторный метод анализа линейных систем.

Система управления состоит из элементов, имеющих различную физическую природу.

Для анализа их взаимодействия удобно перейти к единообразному, стандартному описанию. В инженерной практике наибольшее распространение получил следующий способ:

а) каждый реальный элемент рассматривается как отдельное устройство системы и находится его описание (модель);

б) взаимодействие между звеньями задается путем описания связей между их входами и выходами, т.е. связей, определяющих структуру системы.

1. Описание элементов.

Приступим к изучению свойств отдельных элементов.

Элементом САУ называется устройство, преобразующее один процесс (входное воздействие) в другой процесс (выходную реакцию), другими словами, устройство осуществляет преобразование «вход-выход». Необходимо получить математическую модель элемента, т.е. его описание на каком-либо формальном языке.

Универсальным языком теоретического естествознания, служащим для математического моделирования взаимосвязей процессов в природе и технике, является язык уравнений – алгебраических и, в особенности, дифференциальных.

Под математической моделью элемента мы понимаем ДУ элемента, связывающее выходные и входные величины элемента. Это есть описание преобразования «вход-выход» в неявной форме.

Схематическое представление элемента

элемент

Элемент, представленный своим уравнением (математической моделью), называется звеном.

Обычно уравнение элемента получают аналитическим путем, используя законы природы, которые положены в основу принципа действия элемента (модели типа «белый ящик»).

Наиболее общей математической моделью динамического элемента является нелинейное ДУ (НЛДУ) следующего вида

, (1)

где F – нелинейная функция;

;

Здесь n – порядок уравнения, определяющий и порядок элемента.

Уравнение (1) называют уравнением динамики элемента.

Заметим, что выход динамического (инерционного) элемента зависит от настоящего значения входа и прошлых значений входа и выхода в отличие от статического (безинерционного) элемента, выход которого зависит лишь от настоящего значения входа.

Уравнение статики.

Пусть входное воздействие – постоянная величина, ,так что

.

Пусть существует такое , которое обращает уравнение (1) в тождество. При этом

.

Такой режим, с постоянными значениями на входе и выходе, носит название состояние равновесия (покоя, номинальный режим работы, рабочая точка).

Подставляя в уравнение динамики (1) вместо y и v соответственно и , получаем уравнение статики элемента:

(2)

Разрешая (1) относительно выходного сигнала, находим уравнение статики

, записанное в другом виде. Уравнение статики является нелинейным алгебраическим уравнением. График зависимости называется статической характеристикой элемента. Как пример, на рисунке ниже показана статическая характеристика электронного прибора.

Зная график, легко определить выход по известному входу , не решая уравнения статики. При этом точка А с координатами ( , ) называется рабочей точкой (setpoint).

Элементы, описываемые нелинейными алгебраическими (НАУ) или дифференциальными уравнениями (НЛДУ), называются нелинейными.

Уравнение элемента описывает свойства элемента в неявном виде. Для анализа свойств элемента в явном виде надо решить следующую задачу.

Известно уравнение (1) и , и необходимо определить . Если элемент нелинейный, то трудно решить НЛДУ. Но существуют приемы, позволяющие упростить математическую модель. К таким приемам относится в первую очередь линеаризация.

2. Линеаризация – процесс преобразования нелинейной математической модели элемента (1) в эквивалентное, при определенных условиях, линейное ДУ.

Пусть нелинейный элемент находится в состоянии равновесия, при этом выход и вход характеризуется и .

Предположим, что входное воздействие отклонилось от , а значит (по 1) отклонится и выход от , так что

, .

Здесь - отклонение выхода, - отклонение входа.

Отсюда отклонения от нуля i - ых производных выхода и входа:

при =const,

при =const.

Подставляя в (1) , ,получаем уравнение нелинейного элемента в отклонениях (приращениях)

.(3)

Предположим, что нелинейная функция однозначна и дифференцируема по всем своим аргументам, по крайней мере, в окрестности точки А, соответствующей положению равновесия, т.е. существуют частные производные функции F в окрестности точки А, разложение в окрестности точки ( , ). При этом можно разложить F в ряд Тейлора в окрестности точки А:

(4)

Здесь R – остаточный член разложения в ряд.

Предположим, что отклонения выхода и входа и , и их производных являются малыми, при этом можем пренебречь R, т.е. считать, что

в виду малости по сравнению с другими членами разложения, т.к. он включает слагаемые, содержащие отклонения и в степени выше первой.

Принимая во внимание уравнение (2) и вышесказанное относительно R, можно записать уравнение (4) в виде

(5)

где

, ,

, . (6)

Индекс «0» в уравнениях (6) означает, что после определения частных производных заменяем y на , v на . Следовательно, и - постоянные коэффициенты, а уравнение (5) является линейной математической моделью элемента.

Как видим, сущность линеаризации заключается в замене нелинейного ДУ (3) линейным ДУ (5). Такая замена справедлива при малых отклонениях входа и выхода элемента, т.е. уравнения (3) и (5) эквивалентны только при выполнении данного условия.

Заметим, что уравнение (5) , называемое линеаризованным уравнением элемента, отражает его нелинейные свойства. Действительно, при изменении рабочей точки, т.е. при другом постоянном входе, изменяются в соответствии с выражением (6) коэффициенты уравнения (5).

Пример.

Рассмотрим в качестве элемента цепь RL. Пусть входной величиной является омическое сопротивление R; а выходной величиной – ток I. Пусть к этой цепи приложено постоянное напряжение U=const.

Уравнение цепи можно представить на основе закона Кирхгофа:

или .

Это уравнение – нелинейное ДУ 1-го порядка, т.к. входная величина является коэффициентом при входной величинеI, а n=1,m=0.

Полагая и I=const, и учитывая, что , находим уравнение статики элемента или .

Такому уравнению соответствует статическая характеристика цепи, изображенная на рисунке ниже.

А

Полагая в уравнении (5) n=1,m=0 и заменяя в нем y на I, v на R находим линеаризованное уравнение цепи (уравнение линеаризованного звена ЛДУ)

.

Коэффициенты определяем с помощью уравнения (6):

,

,

.

При этом линеаризованное уравнение имеет вид

.

3. Формы представления математических моделей звеньев

Уравнение звена, полученное в результате линеаризации

(*)

где и - отклонения выхода и входа относительно состояния равновесия (рабочей точки), записывают в различном формате.

1. Операторная (символическая) форма записи уравнения элемента

Введем в рассмотрение оператор дифференцирования , обладающий тем свойством, что его умножение на любую функцию x(t) эквивалентно дифференцированию этой функции по времени:

.

Повторное умножение эквивалентно повторному дифференцированию:

и вообще для любого целого

.

Обозначая ради простоты записи , представим уравнение (*) так:

(1)

тогда вводя операторные обозначения для производных входа и выхода, и затем вынося y и v за скобку, получаем операторную форму уравнения линейного звена в компактном виде

или еще короче

, (2)

где входной оператор

и выходной оператор

представляют собой операторные многочлены.

Пример. Рассмотрим вращающийся вал.

M(t)

Введем следующие обозначения:

W(t) - скорость вращения вала, M(t) – суммарный момент, приложенный к валу. Пусть v(t)~M(t) - вход, а W(t)~y(t) – выход элемента.

Уравнение вала на основании второго закона механики (закона Ньютона) имеет вид:

,

где J – момент инерции вала. Заменяя на DW(t), получаем уравнение вала в операторной форме

.

Последнее представляет частный случай уравнения (2) для m=0, n=1.

Как видим, выходной оператор Д(D)=J(D), а входной K(D)=1.

Очевидно, что уравнение элемента зависит от того, какие сигналы принимаются в качестве выхода и входа. Так, если момент вращения

- входной сигнал, то, полагая, что

,

где - момент вязкого трения, h - коэффициент вязкого трения, то уравнение вала принимает другой вид

или

.

Отсюда

Д(D)=JD+h, K(D)=1.

Найдите сами уравнение вала для случая, когда входом является момент вращения, а выходом угол поворота .

Наряду с операторной записью ДУ (1) в виде (2) будем использовать еще более компактную:

или

y(t)=W(D)v(t), (3)

где W(D) называется операторной передаточной функцией (ОПФ) или оператором звена. Формально W(D) можно рассматривать как отношение двух многочленов от D:

W(D)=K(D)/Д(D) , (4)

которые условимся записывать, не производя никаких возможных сокращений. Запись (4) является символической и не дает решения ДУ (2), т.к. не определено, какой смысл имеет деление на операторный многочлен Д(D).

2) Уравнение звена в изображениях. Передаточная функция звена (ПФ)

Напомним, что преобразованием Лапласа функции x(t) (ее изображением) называется интеграл

,

где x(t) при t<0, - комплексная переменная.

В символическом виде функция x(p) записывается как

x(p)=L[x(t)],

где L – символ преобразования Лапласа. По заданной x(p) может быть однозначно восстановлена функция x(t), называемая в этом случае оригиналом x(p). Эта операция в символическом виде записывается как

,

где оператор - символ обратного преобразования Лапласа.

Использование преобразования Лапласа для решения ДУ основывается, прежде всего, на теореме об изображении производной, согласно которой

L[Dx(t)]=px(p),

если х(0)=0. Из последнего выражения следует, что

при и также, что

, i>0,

если . Часто эти начальные условия обозначают с аргументом – 0 и называют предначальными условиями. С учетом (*) и теоремы линейности преобразование Лапласа от произведения A(D)y(t), где A(D)= представляет собой операторный многочлен, определяется как

L[A(D)x(t)]=A(p)x(p), (**)

если .

Найдем преобразование Лапласа от уравнения (2):

L[Д(D)y(t)]=L[K(D)v(t)].

Используя (**), находим уравнение звена в изображениях

Д(p)y(p)=K(p)V(p), (5)

где y(p)=L[y(t)] – преобразование Лапласа от выхода, а v(p)=L[v(t)] – преобразование Лапласа от входа.

Уравнение (5) имеет место, если выполняются следующие условия:

1)

и

2) .

Заметим, что условие 1) всегда выполняется, т.к. v(t)=0, t<0, а условие 2) выполняется не всегда.

Если условия 1) и 2) выполняются, то звено предварительно невозбужденно (находится в покое до подачи входного воздействия).

Если условия 2) не выполняются, то звено называется предварительно возбужденным.

Уравнение (5) – алгебраическое уравнение, т.к. K(p) и Д(р) – алгебраические многочлены. Поэтому деление на Д(р) имеет обычный математический смысл, так что

.

Принимая во внимание уравнение (4), изображение выхода можно записать как

y(p)=W(p)v(p), (6)

где W(p) – передаточная функция (ПФ) звена, определяемая выражением

W(p)=K(p)/Д(p) (7)

или выражением

W(p)=y(p)/v(p). (8)

Определение: ПФ звена – это отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигнала предварительно невозбужденного звена.

Условие физической осуществимости звена имеет вид:

или

.

Неполнота описания вход-выход с помощью ПФ заключается в следующем:

1. ПФ описывает свойства предварительно невозбужденного звена. Поэтому нельзя найти полное решение уравнения (1), а только при нулевых начальных условиях.

2. Исходное уравнение звена можно восстановить по ПФ, используя выражение

и применяя затем обратное преобразование Лапласа, если многочлены К(р) и Д(р) не содержат одинаковых сомножителей. Только в этом случае знаменатель ПФ Д(р) называют характеристическим многочленом звена.

Если К(р), Д(р) содержат общие сомножители, то Д(р) не равен знаменателю вырожденной, т.е получаемой после сокращения ПФ.

Пример. Пусть звено описывается уравнением и входной сигнал v(t)=t. Известны начальные условия у(0) и . Тогда решение уравнения определяется выражением

,

где С1 и С2 находятся с помощью начальных условий.

Найдем ПФ звена. С этой целью преобразуем по Лапласу уравнение звена:

.

Характеристический многочлен звена равен

.

При нулевых начальных условиях получаем уравнение в изображениях

.

Отсюда ПФ звена после сокращения числителя и знаменателя на общий сомножитель принимает вид вырожденной ПФ:

.

По вырожденной ПФ восстановленные уравнения и не совпадают с исходными уравнениями.

Решая последнее уравнение при v(t)=t, мы получим .

Решения исходного и восстановленного уравнений будут совпадать только при нулевых н.у. Знаменатель ПФ не равен характеристическому многочлену, т.е.

.

4. Временные характеристики звена.

Различают 2 вида временных характеристик.

1. Весовая функция.

Введем понятие весовой функции звена. Для этого запишем выражения для изображения выхода предварительно невозбужденного звена

y(p)=W(p)v(p).

Здесь W(p)=L[w(t)] и v(p)=L[v(t)] – преобразования Лапласа от функций времени. Используем теорему об изображении интеграла свертки, согласно которой

.

Здесь w(t)=L [W(p)] – весовая функция звена .

Учитывая, что y(t)=L [y(p)], определяем реакцию звена на произвольное входное воздействие v(t) как интеграл свертки

(9)

весовой функции и входного воздействия.

Выражение (9) раскрывает математический смысл выражения y(t)=W(D)v(t). Действие оператора W(D) сводится к умножению на и интегрированию полученного произведения в пределах от 0 до t.

Выясним физический смысл весовой функции. Подадим на вход предварительно невозбужденного звена - функцию (функциюДирака), т.е. положим . Учитывая, что , получаем y(p)=W(p). Отсюда

.

Вывод. Физический смысл весовой функции состоит в том, что она является реакцией предварительно невозбужденного звена на -функцию.

Графические изображения дельта-функции с единичной интенсивностью и с интенсивностью а изображены на рисунках ниже.

Условие физической осуществимости звена (условие каузальности или причинности) применительно к весовой функции имеет вид:

w(t)=0 при t<0

Это условие уже учтено в (9).

2. Переходная характеристика.

Переходной характеристикой h(t) называется реакция предварительно невозбужденного звена на единичную ступенчатую функцию (Хевисайда) 1(t).

Если

,

то y(t)=h(t) – переходная характеристика.

Графическое изображение единичной ступенчатой функции приведено на рис.

1

Заменяя v(t) на 1(t) в (9) и учитывая, что , получаем выражение

,

связывающее переходную характеристику и весовую функцию звена. Отсюда

.

Часто задана W(p) и требуется найти весовую функцию и переходную характеристику, используя выражения w(t) = L [W(p)], h(t) = L [W(p)/p].

Вывод. Уравнение линейного звена в операторной форме Д(D)y(t)=K(D)v(t)

можно представить такими математическими моделями:

a) Параметрические модели

1. W(D) – операторная ПФ (оператор) звена,

2. W(p) – ПФ;

б) Временные характеристики

3) - весовая функция (импульсная характеристика),

4) h(t) – переходная характеристика.

Зная одну из этих моделей, можно найти все другие.

Заметим, что модель звена с точностью до постоянной можно представить с помощью диаграммы (карты) нулей и полюсов ПФ W(p), изображенных в виде точек на комплексной плоскости p .

4. Частотные характеристики звеньев

Важными частотными характеристиками звена являются частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между параметрами гармонических сигналов на входе и выходе в установившемся (вынужденном) режиме.

Основная частотная характеристика – амплитудно-фазовая характеристика (АФХ). Ее выражение получают заменой p на jw в ПФ W(p):

.

Выражение для АФХ - функция комплексной переменной. Поэтому это выражение можно представить в показательной и алгебраической формах:

.

При этом получаем еще 4 частотных характеристики:

Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) звена

R(w)=mod W(jw)=|W(jw)|.

Фазо-частотную характеристику (ФЧХ) звена

(w)=arg W(jw).

Вещественную частотную характеристику звена

U(w)=ReW(jw).

Мнимую частотную характеристику звена

V(w)=JmW(jw).

Для исследования частотных свойств звеньев и систем удобно использовать графическое представление частотных характеристик.

Определение. Годограф W(jw), построенный на комплексной плоскости (U,jV) при изменении w от 0 до , также называется АФХ звена.

Выражение для АФХ имеет свойство:

W(-jw)=W*(jw),

где * - символ комплексно-сопряженного выражения, отсюда

U(-w)=U(w), V(-w)=-V(w)

Поэтому не строят ветвь годографа W(jw), соответствующую отрицательным частотам, т.к. эта ветвь является зеркальным отображением АФХ относительно вещественной оси. Однако в зарубежной литературе широко используют годограф W(jw), построенный для диапазона частот - ≤w≤ , и называемый диаграммой Найквиста.

Физический смысл АФХ: Она определяет установившуюся (вынужденную) реакцию звена на гармонический входной сигнал. При этом АЧХ R(w) определяет амплитуду, а ФЧХ (w) определяет фазу установившейся реакции на гармонический сигнал с частотой w.

Логарифмические частотные характеристики (диаграммы Боде)

Анализ и синтез САУ удобно выполнять, используя логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), что объясняется простотой их построения.

ЛЧХ называют построенные в логарифмическом масштабе частотные характеристики R(w) и (w). Для фиксированной частоты значение R(w) – отношение амплитуд гармонических сигналов на входе и на выходе звена. Если на входе и выходе сигналы одной физической природы, то

есть натуральное число, показывающее во сколько раз больше амплитуда выходного сигнала Авых , чем амплитуда входного сигнала Авх. Это число может с изменением частоты изменяться в очень широких пределах, что создает трудности при построении ЛЧХ. Поэтому в качестве единицы измерения используют такую единицу измерения как децибел (дБ). Число R, выраженное в децибелах, определяется так:

L=20lgR [дБ] .

Значения ФЧХ при построении ЛЧХ обычно измеряют в градусах или радианах.

Дадим определение ЛЧХ с учетом замечаний относительно единиц измерения.

Определение. Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) называют график зависимости L(w)=20lgR(w), построенный в логарифмическом масштабе частот lg w.

Определение. Логарифмической фазо-частотной характеристикой называется график зависимости (w), построенный в логарифмическом масштабе частот lg w.

Построение логарифмической оси частот

Возьмем частоты, кратные десяти:

w=

Найдем lgw=i и на оси абсцисс отложим значения lgw, а около засечек запишем значения самой частоты (см. рисунок) Если теперь уберем с оси значения lg w, то получим логарифмическую ось частот.

0,01

Логарифмическая ось равномерна относительно частот, кратных 10.

Так же можно получить точки на оси частот для частот, некратных 10, например: w=2, lg2=0,3.

Говорят, что если частота изменилась в 10 раз, то она изменилась на декаду, т.е. логарифмическая ось фактически разбита на декады.

Размерность угловой частоты: [w]=[рад/с] записывают как w[ ]

Частотные характеристики звеньев должны начинаться с какой-то частоты. Логарифмическая ось частот начинается в бесконечности, т.к. логарифм нуля не существует.

Поэтому обычно ось ординат проводится на такой частоте, чтобы все характерные особенности ЛЧХ оказались справа от этой оси.