Алгебраические критерии устойчивости

Здесь мы рассмотрим необходимое условие устойчивости, определение устойчивости, основанное на преобразовании внутренности единичного круга в левую полуплоскость, и критерии устойчивости Джури.

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы все нули (корни) характеристического полинома

были по модулю меньше единицы , необходимо, чтобы при а_о > 0 выполнялись неравенства

. (13.1.5)

Чтобы доказать это утверждение, разложим полином Q*(z) на элементарные множители:

(13.1.6)

Если корень z_i является вещественным и по модулю меньше единицы, то множитель (z — z_i) при z=1 и множитель (—1)(z— z_i) при z=—1 будут положительными. Если корень z_i является комплексным, т. е. ( — вещественные числа), то существует комплексно-сопряженный корень . Произведение

при z=1 и произведение

при z= -1 будут положительными. Следовательно, из (13.1.6) следует, что если все корни характеристического полинома по модулю меньше единицы, то будут выполняться неравенства (13.1.5).

Пример 13.1.1. Характеристический полином дискретной системы имеет вид

Требуется определить устойчивость системы.

Решение. Проверим необходимое условие устойчивости. В данном случае и

Необходимое условие устойчивости не выполняется. Следовательно, система неустойчива.