Метод точечного преобразования y1

Этот метод используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе и изучения их устойчивости. Суть метода заключается в следующем. Рассмотрим на фазовой плоскости отдельную фазовую траекторию и какую-либо полупрямую, например Oy₁ (рис. 10.2.17).

В некоторый момент времени фазовая траектория пересечет положительную полуось в точке M₁ с координатой y¹₁. При дальнейшем движении фазовая траектория вновь пересечет положительную полуось, но уже в точке M₂ с координатой y²₁

Рисунок 10.2.17 - Отдельная фазовая траектория

Через каждую точку полуоси Oy₁ проходит лишь одна фазовая траектория, поэтому обходу изображающей точки вокруг начала координат соответствует переход произвольной точки полупрямой Oy₁(точки M₁) в другую точку этой же полупрямой (точку M₂). Иначе говоря, обходу фазовой траектории вокруг начала координат соответствует точечное преобразование полупрямой Oy₁ в саму себя. Очевидно, что положение точки M₂ зависит от M₁ , т.е.

y²₁= f(y¹₁) (10.2.1)

где через y¹₁ и y²₁ обозначены абсциссы точек M₁ и M₂

Функция y²₁= f(y¹₁) называется функцией последования.

В некоторых случаях эту функцию (10.2.1) удается получить аналитически из исходного дифференциального уравнения системы.

Если при любом y¹₁ получается, что y²₁ < y¹₁, то в системе будет затухающий процесс, т.е. фазовая траектория - спираль, навивающаяся на начало координат; если y²₁ > y¹₁, то процесс в системе будет расходящимся.

При y²₁ =y¹₁ на фазовой траектории будет предельный цикл, который соответствует колебательному режиму в системе. Представим функцию последования f(y¹₁) графически (рис. 10.2.18).

Рисунок 10.2.18 - Функция последования

На этот график наносится прямая y²₁ =y¹₁ .Анализируя взаиморасположение кривой f(y¹₁) и прямой y²₁ =y¹₁, легко видеть, что если при некотором y^*₁ выполняется равенство y²₁ =y¹₁ = y^*₁, т.е. f(y¹₁) пересекает прямую y²₁ =y¹₁ , то через точку y^*₁ проходит замкнутая фазовая траектория.

Рассматривая взаиморасположение кривой f(y¹₁) и прямой y²₁ =y¹₁ можно также ответить на вопрос, будут ли устойчивы периодические колебания, соответствующие этой замкнутой траектории.

Пусть в начальный момент времени изображающая точка находится в точке M на некоторой фазовой траектории. При движении по этой траектории переходим к точке с абсциссой y²₁.

Далее y²₁ преобразуется в y³₁, y³₁- в y⁴₁ и т.д. (рис. 10.2.18).

Для других начальных условий: абсцисса точки , также строится "лестница" движения от этой точки (рис. 10.2.18), таким образом получают, что изображающая точка с обеих сторон от "неподвижной" точки y₁* приближается к ней. Следовательно, в данном случае на фазовой плоскости будет устойчивый предельный цикл, соответствующий устойчивым автоколебаниям в системе. Величина определяет амплитуду автоколебаний.

Различные случаи точечного преобразования и соответствующие им фазовые портреты представлены на рис. 10.2.19. На рис. 10.2.19, а представлена функция последования для системы, имеющей два предельных цикла, из которых один устойчив, а другой неустойчив. Функция последования для системы с полуустойчивым предельным циклом изображена на рис. 10.2.19 б.

Рис. 10.2.19 - Варианты точечного преобразования:

а - наличие устойчивого и неустойчивого предельных циклов; б- наличие полуустойчивого предельного цикла