Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют вид:

Введем функцию

(6.2.4)

где D(s)- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим

(6.2.5)

Вектор N(j) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n. При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.

1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до 

(6.2.6)

Изменение аргумента вектора D(j) в общем случае равно

(6.2.7)

где m- число корней уравнения D(s)=0, лежащих в правой полуплоскости.

Изменение аргумента вектора Найквиста будет

(6.2.8)

Если замкнутая система устойчива, то m=0 и

Так как при , W(j)0, то N(j)1. Рассмотрим рисунок 6.2.6а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до . Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1,j0) (рис.6.2.6б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(j) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1,j0).

Рисунок 6.2.6. К определению критерия Найквиста

Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.

Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до  не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j0).

Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.

где полином A₁(s) имеет все корни в левой полуплоскости. При =0 АФЧХ разомкнутой системы W(j)= и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от - до + наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при =0 происходит бесконечный разрыв. При этом движении обойдем нулевой корень (рис.6.2.7) по полуокружности бесконечно малого радиуса  так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.

Рисунок 6.2.7 - Годограф Найквиста для нейтрально - устойчивой САУ

При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону

где фаза () изменяется от - / 2 до + / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим

где R при 0 , а фаза () изменяется от + / 2 до - / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(j) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.

Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W(j) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии.

2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае

где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Если замкнутая система устойчива, т.е. m=0, то

( 6.2.9)

т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j с) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до  охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой системы.

Определение числа охватов критической точки- непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.

Переход годографа W(j) через отрезок вещественной полуоси (-,-1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх- отрицательным.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.

(6.2.10)

где число положительных переходов, число отрицательных переходов.

Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеет два неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 6.2.8.

Рис. 6.2.8. АФЧХ ракеты “Авангард”

Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления, а и Замкнутая система будет устойчивой.

Запасы устойчивости

Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа АФЧХ разомкнутой системы относительно критической точки. Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости. Для устойчивых систем удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точки принято оценивать запасами устойчивости по фазе и по модулю.

Допустим, что АФЧХ некоторой разомкнутой системы имеет вид, показанный на рис. 6.2.9

Рисунок 6.2.9 - АФЧХ разомкнутой системы

Угол , образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, и отрицательной вещественной полуосью называется запасом устойчивости системы по фазе.

(6.2.11)

Запасом устойчивости по модулю называется величина

(6.2.12)

где А(_)- значение АФЧХ при частоте =_ , при которой она пересекает вещественную ось.

Для всех систем должны выполняться требования:

Так как АФЧХ графически строится в определенном масштабе, то для вычисления запаса устойчивости по модулю можно просто измерить длины отрезков, соответствующих единице и ОВ, и разделить результат первого измерения на второй. Если увеличивать коэффициент усиления системы, то точка В будет смещаться влево и при ОВ=-1 коэффициент усиления примет критическое значение. Поэтому запас устойчивости по модулю можно определить и по формуле

Рисунок 6.2.10 - Структурная схема системы управления

Пример 6.2.1

Проверить устойчивость системы управления (рис. 6.2.10) с помощью критерия Найквиста

Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию разомкнутой системы

_{Согласно критерию Гурвица, разомкнутая система устойчива. Перейдем теперь к выражению для амплитудно-фазовой частотной характеристики}

и выделим ее вещественную и мнимую части

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы, изменяя от 0 до . Ниже приведены значения вещественной и мнимой частей для отдельных точек.

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы представлена на рис. 6.2.9. Она не охватывает точку с координатами Следовательно, замкнутая система устойчивая.