4.7 Частотные характеристики разомкнутых систем

Как было показано в п. 3.2.1, передаточные и частотные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются, а их логарифмические характеристики — складываются, т.е.

, ,,

, .

Отсюда вытекает правило построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой одноконтурной САУ: строят логарифмические характеристики звеньев и затем их графически складывают.

Но для построения асимптотической ЛАЧХ применяют более простой метод, который сформулируем после рассмотрения конкретного примера.

Пример 4.6

Построить асимптотическую ЛАЧХ для разомкнутой цепи САУ с передаточной функцией

,

где ,с,с,с.

По виду передаточной функции можно заключить, что система состоит из последовательно соединенных интегрирующего, форсирующего, инерционного звеньев и звена второго порядка.

Определим, каким является звено второго порядка, рассчитав его коэффициент демпфирования:

.

Поскольку , звено второго порядка является колебательным.

Рассчитаем частоты сопряжения по соотношению , где— постоянная времени-го звена:

, ,,

где — частота сопряжения инерционного звена,— частота сопряжения форсирующего звена,— частота сопряжения колебательного звена.

Соответственно логарифмы частот сопряжения равны

дек, ,дек.

Будем считать, что коэффициент передачи интегрирующего звена равен коэффициенту передачи разомкнутой цепи САУ, а коэффициенты передачи всех остальных звеньев равны единице. Определим величину дБ.

На рис. 4.15 показан процесс построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой цепи САУ.

Характеристики звеньев построены на рис. 4.15, где соответственно ломаные линии 1, 2, 3, 4 являются ЛАЧХ интегрирующего, инерционного, форсирующего и колебательного звеньев. Так как коэффициенты передачи всех звеньев, кроме интегрирующего, приняты единичными, то ЛАЧХ этих звеньев при совпадают с осью частот.

Просуммировав графически ЛАЧХ всех звеньев, получим характеристику 5, являющуюся асимптотической ЛАЧХ разомкнутой цепи САУ.

Из этого примера видно, что суммарную характеристику легко можно построить, не изображая характеристик отдельных звеньев. Поэтому при построении ЛАЧХ разомкнутых САУ вначале проводят первую асимптоту через точку с координатами с наклоном, гдеравно разности между числами идеальных интегрирующих и дифференцирующих звеньев. После каждой сопрягающей частоты наклон ЛАЧХ изменяют, причем изменение наклона определяется типом звена, давшим сопрягающую частоту. Причем если у колебательного звена < 0,4, на соответствующей частоте необходимо изобразить «горб» в соответствии с величиной .

Рис. 4.15 — Построение асимптотической ЛАЧХ разомкнутой цепи

Возможно и решение обратной задачи — восстановление передаточной функции по ее асимптотической ЛАЧХ.

Пример 4.7.

По заданной на рис. 4.16 асимптотической ЛАЧХ одноконтурной разомкнутой системы требуется восстановить ее передаточную функцию.

Рис. 4.16 — Восстановление передаточной функции по

асимптотической ЛАЧХ

Величина наклона первой асимптоты (по мере роста частоты) указывает на присутствие в структуре системы интегрирующего звена.

Для первой асимптоты поэтому справедливо уравнение (см. характеристики интегрирующего звена): .

Определить параметр можно, отсчитав с графика координаты любой точки этой асимптоты. Например

, ,,.

После первой по величине частоты сопряжения наклон ЛАЧХ изменился на плюс 20 дБ/дек. Такой наклон имеет ЛАЧХ форсирующего звена. Следовательно, в структуре системы есть форсирующее звено. Анализируя изменение наклонов асимптот ЛАЧХ можно заключить, что помимо упомянутых типовых звеньев в систему включены колебательное звено, еще одно форсирующее и инерционное звенья.

В общем виде передаточная функция будет следующей:

По частотам сопряжения рассчитаем соответствующие постоянные времени:

; ;с;

; ;с;

; ;с;

; ;с.

По всплеску ЛАЧХ на частоте сопряжения колебательного звена определим коэффициент демпфирования:

Окончательный ответ:

Следует отметить, что восстановление передаточной функции САУ по асимптотической ЛАЧХ возможно в том случае, если система содержит только минимально-фазовые звенья. Если же в ней имеются особые звенья (неминимально-фазовые, иррациональные, звенья чистого запаздывания), эта задача не имеет однозначного решения, т.к. асимптотические ЛАЧХ этих звеньев такие же, как и у минимально-фазовых звеньев (см. подраздел 3.3).