4.2 Понятие устойчивости линейных непрерывных сау

Система называется устойчивой:

• если после снятия воздействия по окончании переходного процесса возвращается в исходное равновесное состояние;

• после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса приходит в новое равновесное состояние.

Определим условия устойчивости.

Пусть передаточная функция замкнутой по какому-либо из воздействий САУ имеет вид , причем она имеет толькопростых полюсов (корней характеристического уравнения). Подадим на вход САУ единичное ступенчатое воздействие амплитудой, тогда, в соответствии с формулой (2.14), изменение выходной величиныбудет описываться выражением

,

где — установившаяся (вынужденная) составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины (частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью);— свободная составляющая, изменяющаяся во времени в течение переходного процесса (определяется общим решением однородного дифференциального уравнения-ой степени).

Именно свободная составляющая и определяет переходный процесс в системе.

В общем случае полюсы являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных чисел:

где может быть положительной или отрицательной величиной.

При этом, если , эта составляющая будет затухать. Наоборот, приполучатся расходящиеся колебания.

Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность вещественных частей всех полюсов передаточной функции САУ. Если хотя бы один полюс имеет положительную вещественную часть, переходный процесс будет расходящимся и система будет неустойчивой.

Изображая полюсы передаточной функции САУ (корни ее характеристического уравнения) точками на комплексной плоскости, как показано на рис. 4.2, условие устойчивости можно сформулировать еще так: необходимым и достаточным условием устойчивости САУ является расположение всех полюсов ее передаточной функции (корней характеристического уравнения) в левой комплексной полуплоскости.

Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости. При этом можно выделить три случая выхода САУ на границу устойчивости, которые характеризуются соответственно:

• нулевым полюсом ;

• парой чисто мнимых полюсов ;

• бесконечно удаленным полюсом .

Бесконечность на комплексной плоскости рассматривается как бесконечно удаленная точка, противоположная нулевой. Поэтому она тоже является границей между правой и левой полуплоскостями.

Рис. 4.2 — Расположение полюсов

передаточной функции устойчивой САУ

на комплексной плоскости

Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Но ведь для определения устойчивости не нужно знать абсолютное значение корней, необходимо знать лишь, в какой полуплоскости они находятся. Поэтому важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.

К основным критериям устойчивости относятся алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.