4.4 Критерий устойчивости Михайлова

Исходным материалом для применения критерия Михайлова является также характеристический полином САУ .

Если в заменить операторна переменную, то получится функция комплексного переменного

где — вещественная часть, полученная из членов , содержащих четные степени ;— мнимая часть, полученная из членовс нечетными степенями.

При изменении частоты от нуля до бесконечности на комплексной плоскости получится кривая, которую описывает радиус-вектор функции. Эту кривую называютгодографом Михайлова (рис. 4.6). Каждому значению соответствуют определенные значенияи, т.е. определенная точка на плоскости. Прифункция, т.е. годограф начинается на вещественной оси. Прифункциятоже неограниченно возрастает по модулю.

Формулировка критерия Михайлова звучит следующим образом: система устойчива, если годограф , начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательноквадрантов комплексной плоскости, где— порядок системы.

Годограф устойчивой САУ четвертого порядка изображен на рис. 4.6, а. При нарушении порядка прохождения квадрантов комплексной плоскости САУ неустойчива (рис. 4.6, б). Если же система находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова проходит через начало координат на частоте (рис. 4.6, в), т.е. на границе устойчивости

(4.3)

Рис. 4.6 — Годограф Михайлова для устойчивой (а), неустойчивой

(б) САУ и САУ на границе устойчивости (в)

Следует отметить то обстоятельство, что расчетные выражения для граничных параметров, полученные по критериям Гурвица и Михайлова, совпадают. Продемонстрируем это для САУ третьего порядка, характеристический полином для которой имеет вид . Тогда, в соответствии с (4.3), на границе устойчивости получим:

Выразим из первого уравнения квадрат частоты и подставим результат во второе уравнение, не учитывая тривиальное решение:

, ,

или , что совпадает с формулой (4.1).

Физический смысл величины — это частота колебаний системы на границе устойчивости.

Годограф Михайлова можно строить по точкам, изменяя частоту от нуля до бесконечности с определенным шагом и вычисляя каждый раз значение . Можно поступить по-другому: найти точки пересечения годографа с осями и соединить их плавной линией. Для этого, определив из уравнения значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа с мнимой осью, подставляют их в выражение . В результате получают соответствующие координаты. Аналогично находят точки пресечения с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть .

Из формулировки критерия следует, что система устойчива, если нули ичередуются с ростом, начиная с , когда, а.

Пример 4.3

По критерию Михайлова оценить устойчивость САУ, приведенной на рис. 4.5.

В соответствии с рассмотренным выше для этой системы

где ,,,.

Проведем в характеристическом полиноме замену операторана переменнуюи произведем разделение действительной и мнимой частей. Тогда получим:

Приравняем мнимую часть к нулю и определим частоты:

.

Теперь к нулю приравняем действительную часть и определим частоту:

.

Поскольку , т.е. частоты, соответствующие равенству нулю действительной и мнимой частей, чередуются (или, как говорят, перемежаются), САУ устойчива. В этом легко убедиться, рассчитав значения действительной и мнимой частей соответственно на таких частотах:

; ;

.

Так как ,,, годограф Михайлова последовательно проходитI, II, и III квадранты комплексной плоскости, что подтверждает устойчивость САУ.

Критерий Михайлова широко используется для построения областей устойчивости. Уравнения границы устойчивости в пространстве двух варьируемых параметров и, согласно этому критерию, имеют вид:

(4.4)

Исключив из этих уравнений параметр , можно получить уравнение границы устойчивости, связывающее входящие в выраженияиварьируемые параметрыи. Тогда область устойчивости строиться будет так же, как по критерию Гурвица (см. пример 4.3).

С другой стороны, можно построить границы устойчивости по приведенной системе уравнений, используя как параметр, который изменяют от 0 до. Каждому значениюпри этом соответствует определенная точка границы устойчивости. Этот метод получения границы устойчивости принято называть методомD-разбиений.

Система уравнений (4.4) может быть линейной и нелинейной и способ ее разрешения относительно параметров иможет быть различным. Поэтому рассмотрим применениеD-разбиений на конкретных примерах.

Пример 4.4

Применяя D-разбиения, построить область устойчивости для САУ, структурная схема которой приведена на рис. 4.7, для которой ,,,,с,с, с,с.

Рис. 4.7 — Пример проведения D-разбиений

Передаточная функция разомкнутой цепи и характеристический полином САУ будут иметь вид

,

где ,,,

, .

Вариант 1. Проведение D-разбиений в плоскости параметров ,. Тогда

, ,

, ,

и систему уравнений (4.4) можно представить в виде:

(4.5)

Упорядочив систему уравнений (4.5) относительно варьируемых параметров, перенеся свободные члены в правые части и исключив из второго уравнения тривиальное решение , получим:

(4.6)

Система уравнений (4.6) является линейной относительно варьируемых параметров и, поэтому для ее решения можно воспользоваться методами линейной алгебры, например формулой

,

где — вектор решений системы (4.6);

—обращенная матрица системы (4.6);

—вектор правых частей уравнений системы (4.6).

Эту систему можно также решить через определители, определив неизвестные как

, ,

где — определители системы (4.6), причем

, ,

.

Таким образом, решая систему (4.6) каким-либо способом, получим:

,

.

Легко видеть, что для заданных значений постоянных времени при критических частотах изнаменатели формул дляиобращаются в нуль, поэтому этих частот нужно избегать при построении области устойчивости САУ.

В табл. 4.1 приведены рассчитанные значения варьируемых параметров ипри изменении частоты от 7 до 21 с^–1, а на рис. 4.8 показана область устойчивости САУ, построенная по табличным данным.

Таблица 4.1

x₂()

x₁()

Рис. 4.8 — Область устойчивости САУ

при x₁() = T₁, x₂() = K _р

Для определения расположения штриховки оценим устойчивость САУ при различных значениях , рассчитав частоты, как это делалось в примере 4.3, по формулам

, ,.

При с^–1 значения частот с^–1, с^–1. Так как , т.е. частоты чередуются, САУ устойчива.При с^–1 значения частот с^–1, с^–1. Здесь , т.е. чередование частот нарушается, следовательно, САУ неустойчива. Прис^–1 значения частот с^–1, с^–1. Поскольку , САУ снова устойчива.

Таким образом, область устойчивости расположена с внешней стороны границы, как показано штриховкой на рис. 4.8. Асимптоты иявляются прямыми,, т.е. совпадают с осями координат.

Вариант 2. Проведем D-разбиения в плоскости параметров ,. Тогда

, ,

, .

Система уравнений (4.4) примет вид:

(4.7)

Система (4.7) является нелинейной, поскольку в обоих ее уравнениях присутствует произведение варьируемых параметров, поэтому ее можно решить только путем подстановки.

Выразим из второго уравнения системы переменную и подставим получившееся значение в первое уравнение:

,

,

отсюда

.

В полученных соотношениях присутствуют две критические частоты: и(уравнениедает мнимые решения), причем, для заданных значенийчастотатакже принимает только мнимые значения, поэтому при проведении дальнейших расчетов нужно избегать только значения.

Рассчитанные значения варьируемых параметров иприведены в табл. 4.2 при изменении частоты от 7 до 21 с^–1.

Таблица 4.2

На рис. 4.9 показана область устойчивости САУ для принятых варьируемых параметров. Она также располагается с внешней стороны границы устойчивости, поскольку при нарушается чередование частот и.

Рис. 4.9 — Область устойчивости САУ при x₁() = ₁, x₂() = K _р

Следует отметить, что построение области устойчивости с помощью D-разбиений является более общим подходом к решению этой задачи. Так, например, если бы в примере 4.3 данная задача решалась посредством критерия Гурвица, то граница устойчивости представлялась бы двумя кривыми и, точку сопряжения которых определить весьма сложно. При проведенииD-разбиений этот вопрос разрешается автоматически, поскольку граница устойчивости — единая зависимость.