Спектральные плотности амплитуд и фаз непериодических сигналов

Величина в (4.27) илиU(jf) в (4.29), называетсяком­плексной спектральной плотностьюнепериодического сигналаu(t).Она может быть записана в показательной и алгебраической формах:

(4.31)

и содержит в себе сведения о спектральной плотности ампли­туд испектральной плотности фаз сигнала, где величиныиопределяются формулами

Определим физический смысл преобразования Фурье (4.28). Для этого подставим в выражение (4.28) вместо его значе­ния из (4.31):

Учитывая, что – четная, а синус – нечетная функция частоты, интеграл от второго слагаемого равен нулю. Следова­тельно, интеграл Фурье (4.28) имеет вид

Отсюда следует важнейший вывод о том, что непериодиче­ский сигнал может быть представлен пределом суммы (интег­ралом) бесконечно большого числа гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудамии начальными фа­замипричем разность частот соседних гармоник бесконечно мала:. Это означает, что спектр непериоди­ческого сигнала являетсясплошным или непрерывным.

Определимспектральную плотностьпрямоугольного импуль­са, изображенного на рис. 4.14. Для расчета его комплексной спек­тральной плотности воспользуемся

Рис. 4.14. Прямоугольный импульс

Уравнение (4.34) удобнее преобразовать к виду

так как это выражение содержит функцию , поведение которой хорошо известно: эта затухающая функция максимальна и равна1, когда=0; она принимает нулевые значения при=±k.

График комплексной спектральной плотности прямоугольного импульса изображен на рис. 4.15. В тех областях частот, где функция положительна, спектральная плотность фазравна нулю; там же, гдеотрицательна, спектральная плотность фаз равна ±180°. Поэтому на графиках можно изобра­зить отдельно спектральную плотность амплитуд– модуль || и спектральную плотность фаз(рис. 4.16)

Рис. 4.15. Спектральная плотность прямоугольного импульса

Рис.4.16. Спектральные плотности (спектры) амплитуд (а) и фаз (б) прямоугольного импульса

Определимспектральную плотность амплитудпря­моугольного импульса, изображенного на (рис.4.17), если= 1 мс,U =10 В.

Комплексную спектральную плотность прямо­угольного импульса (рис. 4.17) определим, используя прямое преобразование Фурье (4.27):

Рис. 4.17. Прямоугольный импульс

Полученное выражение отличается от комплексной спектральной плотности (4.35) прямо­угольного импульса, изображенного на (рис. 4.14), множителем, учитывающим запаздывание сигнала (рис. 4.17) наи влияющим только на спек­тральную плотность фаз.

Спектральная плотность амплитуд – это модуль комплексной спектральной плотности, поэтому

Обратим внимание на то, что спектральная плот­ность амплитуд прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 4.14 и 4.17, рассчитывается по одной и той, же формуле. Это означает, что графики спектральной плотности амплитуд импульсов также совпадают (рис. 4.16,а).

Построим график Для этого прежде всего рассчитаем значение спектральной плотности ампли­туд на нулевой частоте, которое равно площади пря­моугольного импульса:

Рис. 4.18. Спектральная плотность амплитуд прямоугольного импульса

Частоты f, на который спектральная плотность обращается в нуль, можно найти из соотношения

Эти частоты равны , т.е. 1; 2; 3 кГц и т.д. На частотах 1,5 и 2,5 кГц лепестки функцииU(f) при­нимают максимальные значения, равные соответст­венно 2 и 1,3 мВ-с. График спектральной плотности амплитуд приведен на рис. 4.18.

Найдемкомплексную спектральную плотностьтре­угольного импульса, изображенного на рис. 4.19, на частотеf = 200 Гц, еслиU =10 В,= 5 мс.

Сигнал u(t)можно записать следующим образом:

Комплексную спектральную плотность импульса (рис. 4.19) рассчитываем, используя формулу (4.27):

.

Берем интеграл по частям и получаем

.

На частоте f =200 Гц комплексная спектральная плотность

равна 8, т.е. спектральная плотность амплитуд рав­на8мВ·с, а спектральная плотность фаз равна 90°.

Рис. 4.19. Треугольный импульс

Из прямого преобразования Фурье легко определить спек­тры типовых, часто встречающихся в технике импульсов. Рас­смотрим некоторые из них.

Импульс включения.При анализе переходных процессов в электрических цепях используется импульс включения (единичная функция) (рис. 4.20), который возникает при подключении к це­пи источника постоянного напряжения:

Строго говоря, эта функция не удовлетворяет условиям ин­тегрирования по Фурье, поэтому воспользуемся следующим при­емом: умножим ее на «гасящий» множитель , а затем после интегрирования перейдем к пределу при

.

Совершая предельный переход, получаем спектральную плот­ность импульса включения:

Рис. 4.20. Импульс включения

Рис. 4.21. Спектры амплитуд (а) и фаз (б) импульса включения

Спектральная плотность амплитуд при этом , а спектральная плотность фаз= -90°. Графикиипоказаны на рис. 4.21.

-импульс.Этот импульс является математической моделью очень узкого и большого по амплитуде импульса (рис. 4.22,а):

удовлетворяющему условию

, (4.36,б)

т.е. площадь его равна единице.

Для нахождения спектра -импульса воспользуемся прямым преобразованием Фурье

Рис. 4.22. -импульс (a) и его спектр (б)

Так как второе слагаемое равно нулю (в силу нечетности по­дынтегрального выражения), то

В силу свойства (4.36, а) -импульса подынтегральное выра­жение существует только при t =0, а это означает, что согласно (4.36, б)1. График спектра -импульса приведен на рис. 4.22,б.

Обратное преобразование Фурье для -импульса имеет вид

Так как спектр -импульса= 1, то

Рис. 4.22. Постоянное напряжение (а)и его спектр (б)

Постоянное напряжение U =1 В существует во все момен­ты времени, а не только приt ≥0.

Учитывая взаимозаменяемость параметров t и, выраже­ние (4.37, б) можно переписать в виде

Сравнивая его с выражением для спектра постоянного на­пряжения

приходим к выводу, что =

Таким образом, спектр постоянного напряжения (рис. 4.23, б) равен нулю на всех частотах, кроме =0, гдеобращается в бесконечность.

Экспоненциальный импульс.Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом описываются экспоненциальной функцией (рис. 4.24,а)

Спектральная плотность этого импульса

где спектр амплитуд

а спектр фаз

Графики ипоказаны на рис. (4.24,бив).

Рис. 4.24. Экспоненциальный импульс (а) и его спектры амплитуд (б) и фаз (в).

Для вычисления спектров при различных преобразованиях сигналов можно воспользоваться теоремами о спектрах. Остановимся на физической интерпретации основных теорем спек­трального анализа.

Спектр суммы сигналов(теорема линейности). Если сигналы, спектры которых известны, суммируются, то для вычисления ре­зультирующего спектра можно воспользоваться теоремой линейно­сти:спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

Итак, если

то

.

Сдвиг сигнала во времени(теорема запаздывания). Часто при обработке сигнала приходится осуществлять его задержку на время:

В этом случае спектр задержанного сигнала умножается на множитель :

При запаздывании сигнала на время его спектральная плотность амплитуд остается неизменной, а спектральная плотность фаз изменяет свой наклон на величину

Дифференцирование и интегрирование сигнала. Если сиг­нал подвергается дифференцированию,

то его спектр умножается на оператор :

где - значение сигналав момент времениt =0.

При интегрировании сигнала

его спектр делится на (при условии=0):

.

Изменение масштаба сигнала(теорема подобия). Пусть сиг­налимеет спектр. Изменение масштаба по шкале времени

приводит к изменению масштаба спектра по шкале частот:

.

Сжатие сигнала во времени приводит к расширению его спектра и, напротив, растяжение сигнала — к сужению спектра. Другими словами, чем короче импульс, тем шире его спектр.

Построимграфики спектральных плотностей ампли­туд прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую амплитудуU, но разные длительности т:а)= 2 мс,б)= 4 мс,в) = 1 мс (рис. 4.25).

Ранее было установлено, что спектральная плот­ность амплитуд U(f) прямоугольного импульса изменяется по законуЗначениеU(f) на ну­левой частоте равно площади импульсаU(0) =U, а нули функцииU(f) располагаются на частотах, кратных величинам1/.

Рис. 4.25. Прямоугольный импульс и его спектр при длительности импульса 2 мс (а), 4 мс (б) и 1 мс (в)

Для импульса, имеющего параметры U = 1 В и= 2 мс, получаемU(0) =U=2 Вмс, нули рас­положены на частотах 0,5; 1; 1,5 кГц и т.д. График спектральной плотности амплитуд такого импульса изображен на рис. 4.25,а.

Увеличение длительности импульса в 2 раза (= 4 мс) приводит, в соответствии с теоремой подо­бия, к сужению спектра в 2 раза. Это означает, что нули спектраU(f) располагаются на частотах, крат­ных 1/= 0,25 кГц, а значениеU(0) =U =4 В·мс.

График спектральной плотности амплитуд импульса, имеющего параметры U = 1 В и= 4 мс, изображен на рис. 4.25, б.

Уменьшение длительности импульса в 2 раза (=1 мс) по сравнению с исходным приводит к расши­рению спектра, т.е. нули располагаются на частотах 1; 2; 3 кГц и т.д., а значение спектра на нулевой час­тотеU(0) = 1 В⋅мс. ГрафикU(f) прямоугольного импульса с параметрамиU =1 В и =1 мс изобра­жен на рис. 4.25,в.

Смещение спектра сигнала(теорема модуляции). Эта теоре­ма является двойственной (дуальной) по отношению к теореме запаздывания. Если спектр сигнала(t) сместить вниз или вверх по шкале частот на величину ,т.е., то это соответствует умножению сигнала на комплексную гармо­нику с частотой:

u(t)=

Другими словами, при умножении сигнала на гармоническое колебание с частотойспектр сигнала смещается по шкале частот на величину.

Найдем спектр радиоимпульса, изображенного на (рис. 4.26, б).

Радиоимпульс можно получить как произведение видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 4.26, а) и гармонического колебания .

Воспользовавшись формулой Эйлера

получаем

Обозначив спектр видеоимпульса как и, применив теорему смещения, находим спектр радиоимпульса:

На рис. 4.27, а изображен спектр видеоимпуль­са, имеющего длительность = 10 мс. На рис. 4.27,б изображен спектр радиоимпульса с частотой гармо­нических колебаний = 100 кГц.

Рис 4.26. Видеоимпульс (а) и радиоимпульс (б)

Рис. 4.27. Спектры видеоимпульса (а) и радиоимпульса (б)

Перемножение двух сигналов (теорема свертки спектров).Спектр произведения сигналов соответствует свертке их спектров. Так, если

то

Свертка двух сигналов (теорема о произведении спектров сигналов). Спектр свертки двух сигналов соответствует про­изведению их спектров. Так, если

(4.38)

то

Между спектрами непериодического и периодического сиг­налов существует связь: графики модуля спектральной плотно­сти непериодического сигнала и огибающей дискретного спектра аналогичного периодического сигнала совпадают по форме и от­личаются только масштабом. Из уравнения (4.22)

следует, что если периодически повторять одиночным импульс, то амплитуды и фазы получающегося при этом дискретного спектра можно определить, заменив в комплексной спектральной плотности U(j) одиночного импульса текущую частоту на значения частот гармоники пронумеровав эту плотность относительно величины полупериода. Таким образом,

Если мы будем периодически с периодом Т повторять прямо­угольный импульс, изображенный на рис. 4.14, то в соответствии с последним выражением можно записать для комплексного спектра периодической последовательности прямоугольных импуль­сов, вытекающее непосредственно из спектральной плотности (4.35) одиночного прямоугольного импульса при замене частотына

Используя понятие скважности последовательности прямоугольных импульсов и учитывая, что, получаем комплексный спектр

Можно обобщить о преобразовании Фурье сигнала s(t) и его изображения :

1. ;

2. функции, сопряженные по Фурье (4.27), (4.28)

3. функции, свернутые по времени

4. энергия периодического сигнала

Свойства преобразования Фурье сведены в таблицу 4.2

Таблица 4.2

Основные положения изложенных в п. 4.5 материалов:

• Спектр непериодического сигнала является непрерывным; он состоит из бесконечно большого числа частотных составляющих с бесконечно близкими смежными частотами и с бесконечно малыми амплитудами.

• Чем короче импульс любой формы, тем шире его спектр.

• Запаздывание сигнала приводит лишь к изменению наклона характеристики спектра фаз.

• Для смещения спектра по шкале частот необходимо «запол­нить» сигнал гармоническим колебанием.

• Операция свертки сигналов ведет к перемножению их спек­тров.

• Дискретный спектр «вписывается» в огибающую непрерыв­ного спектра.