Методы анализа электрических цепей

Методы, применяемые для расчета реакции цепи на то или иное воздействие, зависят от вида воздействия. В качестве сигнала в этом случае выступают– ток,– напряжение,– ЭДС. Расчет цепей излагался ранее в разделе «Электротехника» и в [5, 6]. Вспомним и обобщим их результаты.

Если воздействие не зависит от времени, то говорят, что цепь находится в режиме постоянного тока. При этом все индуктивно­сти в цепи представляются, как известно, короткими замыкания­ми (т.е. отрезками проводов), а все емкости – разрывами цепи. Оставшиеся в эквивалентной схеме резистивные сопротивления образуют чисто резистивную цепь. Нахождение напряжений и токов в такой цепи от любых источников не представляет слож­ностей. Методы расчета электрических цепей в режиме постоян­ного тока хорошо описаны в литературе [1, 5, 6]. С математической точки зрения — это методы решения систем линейных алгебраи­ческих уравнений с вещественными коэффициентами. Неизменное во времени воздействие (т.е. постоянный ток или постоянное напряжение) характеризуется только одним парамет­ром – величиной или значением этого воздействия.

Когда же в качестве воздействия рассматривается гармоническое колебание, то необходимо учитывать в общем случае три параметра – его амплитуду, частоту и начальную фазу. Линейная электрическая цепь обладает замечательным свойством: все ее реакции на гар­моническое воздействие будут иметь гармоническую форму и ту же частоту, что и воздействие. Таким образом, линейная элек­трическая цепьне изменяетчастоту гармонических колебаний в ней. Кроме того, при наличии в цепи нескольких источников гармонических напряжений и токов одной и той же частоты все реакции цепи будут также гармоническими реакциями той же са­мой частоты.

Следует заметить, что при гармоническом воздействии на ли­нейную электрическую цепь расчет напряжений на элементах и токов в ветвях усложняется. Дело в том, что реактивные элемен­ты (индуктивность и емкость) оказывают влияние не только на амплитудугармонической реакции, но и изменяют ееначальную фазу. Из трех параметров гармонического колебания (амплитуда, частота и начальная фаза) два подвергаются изменению. Измене­ние амплитуды и начальной фазы гармонического колебания лег­ко отразить в виде изменения длины и положения соответствующего вектора (тока или напряжения) на комплексной плоскости. Действительно, у вектора, как и гармо­нического колебания, может изменяться величина и фазовый угол, отсчитываемый от какой-либо оси.

При заданной частоте гармонических колебаний в цепи воз­действия представляются комплексными числами (или векторами на комплексной плоскости при графическом изображении). Реак­ции цепи будут представляться также комплексными числами, но с другими амплитудами и начальными фазами. Задача анализа цепи – найти эти амплитуды и начальные фазы.

Представление воздействий и реакций в виде комплексных чиселпозволяет использовать для расчета (анализа) цепи тот же арсенал методов, который используется для цепей с постоянными воздействиями, с той лишь разницей, что алгебраические опера­ции производятся над комплексными числами. Стандартные ме­тоды расчета линейной цепи сводятся обычно к решению систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффици­ентами и комплексными переменными. Примеры анализа линей­ных цепей при гармонических воздействиях даны в [1, 5, 6].

При наличии в линейной электрической цепи нескольких ис­точников гармонических колебаний разных частот расчет реакций осуществляется методом наложения. Сначала находится реакция цепи на каждое гармоническое воздействие в отдельности, а затем полученные реакции складываются. Следует только помнить, что сумма гармонических реакций разных частот дает в результате периодическое колебание, которое по своей форме отличается от гармонического.

Тот факт, что периодическое воздействие сложной формы можно представить в виде суммы гармонических колебаний раз­ных частот, лежит в основе расчета цепей с источниками периоди­ческих негармонических сигналов(например, последовательностей прямоугольных, пилообразных, треугольных и тому подобных импульсов). Из математики известно, что представление периоди­ческой функции суммой гармонических колебаний называется разложением этой функции вряд Фурье.Таким образом, матема­тический аппарат рядов Фурье – наиболее приемлемый аппарат для представленияпериодических воздействий сложной формы.

Набор гармонических колебаний кратных частот, описываю­щий периодический сигнал, называется спектромэтого сигнала. Анализ изменения спектра сигнала на выходе цепи по сравнению со спектром входного сигнала позволяет сказать, как изменился сам сигнал при прохождении его по цепи. П/п 4.1, 4.2, 4.3 настоящей работы посвящены анализу линейных электрических цепей при воздействии на них периодических сигналов сложной формы.

Адекватным математическим аппаратом для представления непериодических воздействийявляетсяинтеграл Фурье.

Два интегральных преобразования Фурье (прямое и обрат­ное) позволяют по форме сигнала определять его комплексный спектр, а по спектру — форму сигнала. Анализ электрической це­пи при непериодическом воздействии сводится к нахождению спектра реакции цепи на это воздействие, а затем и самой реак­ции.

Расчет реакции линейной цепи с источниками непериодиче­ских сигналов, называемый спектральным анализом,подробно описан в п/п 4.4, 4.5, 4.6, 4.7.

Обобщением интегральных преобразований Фурье являются интегральные преобразования Лапласа, которые позволяют опре­делять операторные изображения воздействий и, наоборот, фор­му воздействий по их изображениям. Поэтому вместо спектраль­ного анализа цепи может быть проведеноператорный анализ, суть которого состоит в отыскании сначала операторного изобра­жения реакции, а затем с помощью обратного преобразования Лапласа — реакции цепи нанепериодическое воздействие. Мето­ды операторного анализа изложены в Главе 7 настоящей работы и в [1, 5, 6].

Существует прямой путь вычисления реакции цепи на воз­действие, не прибегая к определению спектров или изображений сигналов. В математике известны так называемые интегралы свертки,которые дают возможность найти реакцию цепи на не­периодическое воздействие путем прямого вычисления интеграла свертки. Анализ линейных цепей с помощью интегралов свертки, или временной метод анализа, изучается в [1].

На практике часто встречаются случаи, когда в цепи проис­ходит коммутация. Коммутацией принято называть любое изме­нение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или от­ключение источников, приводящие к возникновению переходных процессов.Анализ переходных процессов приведен в [1, 5, 6]. Этот анализ может быть выполнен любым из трех методов: спектраль­ным, временным или операторным.

Если цепь содержит нелинейные резисторы (диоды, тран­зисторы), то чаще всего используют графоаналитические мето­ды расчета. Как правило, в цепях с нелинейными элементами не действует принцип суперпозиции. Ток нелинейного элемента содержит гармоники, которых не было во входном сигнале. Методам анализа нелинейных резистивных цепей посвящена [1, 5, 6].

Основные положения изложенных в гл.3 с учетом [1, 6] материалов:

• Инженер должен уметь определять реакцию цепи на воздействие или сумму воздействий.

• Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать реакцию линейной цепи на отдельные воздействия, а затем находить полную реакцию как сумму отдельных реакций.

• В качестве воздействий могут быть напряжения или токи, создаваемые источниками сигналов, а в качестве реакций – напряжения или токи в элементах элек­трической цепи.

• Воздействия подразделяются на постоянные и переменные во времени.

• Переменные во времени воздействия бывают периодические и непериодические.

• К простейшим периодическим воздействиям относятся гар­монические.

• Периодические сигналы сложной формы (прямоугольной, пилообразной и др.) используются в аналоговой и цифровой технике для целей ис­пытаний, измерений, управления и т.д.

• Только непериодический сигнал может нести в себе инфор­мацию это речевые, цифровые, телевизионные, радиолокационные и другие сигналы.

• Любой сигнал Sможет быть разложен в ряд по базисной ортонормированной системе функций, которая может быть применена при расчете цепей. К таким базисным функциям относятся: ряд Фурье (тригонометрическая, комплексная и интегральная формы); интеграл Лапласа; функции Лежандра, Чебышева, Эрмита и Лагерра; негармонические базисные функции «вейвлеты».

• Методы анализа цепи зависят от вида воздействия. При спектральном анализе цепей с периодическими несинусоидальным сигналом используют ряд Фурье (тригонометрическая и комплексные формы), при сигналах непериодической формы – интегральные преобразования Фурье или Лапласа.

• Расчет реакции резистивной цепи в режиме постоянного воздействия сводится к решению систем линейных уравне­ний с вещественными коэффициентами.

• Реакция цепи на гармоническое воздействие рассчитывается в результате составления и решения систем линейных урав­нений с комплексными коэффициентами и переменными.

• Периодическое воздействие сложной формы можно представить как сумму гармонических колебаний кратных частот, разложив его в ряд Фурье. Расчет реакции цепи на такое воздействие производится методом наложения.

• Существует три метода анализа цепи на непериодическое воздействие сложной формы: спектральный, операторный, временной.

• Спектральный метод основан на применении преобразований Фурье. Вначале определяют спектр реакции цепи, а затем саму реакцию.

• В операторном методе используется интегральное преобра­зование Лапласа. Рассчитывается изображение реакции, а затем сама реакция.

• Временной метод позволяет сразу же определить реакцию цепи, используя интеграл свертки.

• Расчет реакции цепи на воздействие, изменяющееся скач­кообразно, также может быть рассчитано временным, опе­раторным или спектральным методами.

• Для расчета реакций нелинейных резистивных цепей на по­стоянное и гармоническое воздействия используются в ос­новном графоаналитические методы.

• Для описания дискретных сигналов используется Z-преобразование. Реакция дискретной цепи на дискретное воздействие рассчитывается либо с помощью разностных уравнений, либо с использованием передаточных функций.

• Для более точного анализа сигналов в цепи используют вейвлет-преобразование.