logo
eltekh / 3 Семестр / РАДИОТЕХНИКА / Радиотехника Часть 1 (лекции)

Представление периодического воздействия рядом Фурье

Из математического анализа известно, что периодическая не­гармоническая функция f(t),удовлетворяющая условиям Дирихле может быть разложена в ряд Фурье:

где –коэффициенты разложения, определяемые уравне­ниями:

Применительно к периодическому гармоническому напряже­нию u(t) в (4.1) можно использовать следующие обозначения:

Напомним, что у периодического сигнала его значения по­вторяются через равные промежутки времени, называемые пе­риодом.Простейшим периодическим сигналом является гармони­ческое колебание вида

Естественно, что при разложении этого сигнала в ряд Фурье последний будет содержать всего один член. Примером сложного периодического сигнала может служить последовательность прямоугольных импульсов с периодом повторения T(рис. 4.1,а).

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов, симметричная относительно начала координат, состоит только из синусоид. В качестве исходной синусоиды нужно выбрать такую, у которой период совпадает с периодом повторенияTпрямоугольных импульсов (рис. 4.1,б):

Следующая синусоида должна иметь частоту в три раза большую, а амплитуду – в три раза меньшую:

Рис. 4.1. Последовательность прямоугольных импульсов и образующие ее синусоиды

Сумма этих двух синусоид, т.е.+u3(t), пока еще мало похожа на прямоугольные импульсы (рис. 4.1,в).Но если мы добавим к ним синусоиды с частотами в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз большими, то сумма всех этих колебаний

(4.3)

будет не так уж сильно отличаться от прямоугольных импульсов (рис. 4.1, гид).Таким образом, из (4.3) следует, что в случае последовательности прямоугольных импульсов, симметричной относительно начала координат, ряд Фурье (4.2) состоит толь­ко из синусоидальных колебаний.

Ниже мы покажем, что для того, чтобы сигнал, сформирован­ный из синусоид (4.3), совпадал с прямоугольными импульсами также и по высоте, амплитуду основной синусоиды следует взять

Таким образом, степень прямоугольности импульсов определя­ется количеством синусоид со все более высокими частотами, которые мы будем суммировать в (4.3).

Построения на рис. 4.1 носят скорее наглядный характер. Воспользовавшись формулами (4.2), можно выполнить точные вычисления.

Постоянная составляющая ряда Фурье

равна нулю, т.е. она в данном сигнале отсутствует.

Амплитуды косинусоидальных гармоник

также равны нулю при любых значениях k, что означает их от­сутствие в сигнале.

Амплитуды синусоидальны составляющих ряда Фурье

При k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

Амплитуда , обозначена в формуле (4.3) как амплитуда первой (основной) гармоники

Может показаться, что представление периодических сигна­лов в виде совокупности гармоник есть не более чем математиче­ский прием и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Если бы вам удалось, например, подобрать струны с частотами колебаний, кратными числам 1, 3, 5, 7, ..., и распо­ложив их рядом друг с другом, привести одновременно в движе­ние так, чтобы амплитуды колебаний струн соотносились как: (1/3) : (1/5) : (1/7) ..., то вы бы увидели, что форма кривой звукового давления, создаваемого этими струнами совместно (а значит, и форма тока, например, в цепи микрофона), была бы прямоугольной.

Другим примером периодических несинусои­дальных колебаний может служить сигнал пилообразной формы (рис. 4.2, а).

Пилообразный сигнал, симметричный относительно начала координат, также состоит только из синусоид. Чтобы сформировать пилообразный сигнал, нужно взять сна­чала основную синусоиду или первую гармонику (рис. 4.2,б):

Амплитуду этой гармоники можно рассчитать по формуле (4.2). Она равна

Затем следует использовать перевернутую синусоиду удвоенной частоты и половиной амплитуды (рис 4.2,в):

а также синусоиды с утроенной, учетверенной и т.д. частотами (рис. 4.2, г-е):

(4.4.)

Изменение начала координат превращает ряд, состоящий из синусов, в косинусный ряд.Покажем на примере последователь­ности прямоугольных импульсов, как изменение начала коорди­нат превращает ряд, состоящий из синусов, в ряд, состоящий из косинусов.

Рисунок 4.3, аотличается от рис. 4.1,анезначительно: мо­мент наблюдения (т.е. начало координат) смещен вправо на чет­верть периода последовательности прямоугольных импульсов.

Рис.4.2. Последовательность пилообразных импульсов и образующие ее синусоиды

Напомним, что колебание, которое начинается раньше нача­ла координат, называется опережающим по отношению к коле­банию, возникающему из начала координат, и характеризуется появлением начальной фазы со знаком «плюс». Это означает, что теперь вместо колебания (4.1, б) мы будем иметь дело с коле­банием, опережающим по фазе данное колебание на/2рад или на 90° (рис. 4.3,б):

Колебание утроенной частоты 3после переноса начала ко­ординат получит сдвиг по фазе, равный З/2 рад, или 270° (рис. 4.3,в):

Продолжая действовать таким образом, мы придем к форму­ле для последовательности прямоугольных импульсов:

(4.5)

Рис.4.3. Последовательность прямоугольных импульсов, смещенная на относительно начала координат.

Применив к (4.5) тригонометрические формулы приведения

sin(

sin

sin(

sin(;

sin(; и т.д.

можно представить ряд (4.5) в виде суммы только косинусоид.

Периодические сигналы любой формы также состоят из суммы синусоид или косинусоид; при этом нечетные сигналы состоят только из синусоид, в то время как четные сигналы — только из косинусоид.

В табл. 4.1 приведены наиболее часто встречающиеся на практике периодические последовательности импульсов и записаны их представления в виде синусных или косинусных рядов. Из таблицы видно, что нечетные функции содержат только синусоиды, а четные — только косинусоиды. Напомним, что четной называется функция, удовлетворяющая соотношению x(-t) = x(t),нечетной — удовлетворяющая соотношению x(-t) = -x(t).

Таблица 4.1. Ряды Фурье наиболее часто встречающихся сигналов

Сигнал

Ряд Фурье

k-четные;

k-четные;

; ;

В честь французского математика приведенные в таблице ряды называются рядами Фурье. Наинизшая частота синусоидальных или косинусоидальных компонент есть

или

Эта частота принадлежит основной составляющей, и она сов­падает с частотой повторения сигнала. Таким образом, периодический сигнал с периодом в 1 мс имеет основную составляющую с частотой

Частоты остальных составляющих сигнала являются числами, кратными частоте основной составляющей. Эти составляющие называются гармониками основной компоненты, и номер гармоники определяется отношением ее частоты к частоте основной составляющей. Так, в приведенном в предыдущем абзаце примере гармониками основной составляющей в общем случае могут быть вторая – с частотой 2 кГц, третья – с частотой 3 кГц, четвертая – с частотой 4 кГц и т.д.

Гармоники в ряде Фурье можно вы­делить и измерить с помощью измерительного прибора – анализато­ра спектра.Простейшая схема такого анализатора в качестве основ­ного элемента включает полосовой фильтр с высокой избирательностью и перестраиваемой центральной частотой. К вы­ходным зажимам фильтра подключается чувствительный индикатор: милливольтметр или осциллографическая трубка. Центральная часто­та фильтра, как правило, перестраивается автоматически. При совпа­дении частоты гармоники, содержащейся во входном сигнале, с цен­тральной частотой фильтра индикатор показывает амплитуду отдельной гармоники ряда Фурье.

Кроме основной составляющей и высших гармоник в сигна­ле может присутствовать постоянная составляющая. Посмотрите на рис. 4.4,а иб.Нижний рисунок получен из верхнего вычита­нием среднего значения сигнала, которое вычисляется, как из­вестно, по формуле

Для последовательности прямоугольных импульсов, изобра­женной на рис. 4.4, а, указанную площадь вычислить нетрудно, поэтому

В случае, когда сигнал имеет сложную форму, площадь вы­числяется с помощью интеграла из формулы (4.2):

Среднее значение сигнала называютпостоянной состав­ляющей.Удаление постоянной составляющей из последователь­ности прямоугольных импульсов на рис. 4.3, а приводит к после­довательности, показанной на рис. 4.4,б.

Рис. 4.4. Последовательности прямоугольных импульсов

Поскольку гармонический состав последнего сигнала известен (4.3), то гармонический состав однополярной последовательности импульсов (рис. 4.4, а)будет отличаться только наличием посто­йной составляющей:

В двух предпоследних строках табл. 4.1 можно увидеть постоянные составляющие у переменного напряжения, выпрямленного одно- и двухполупериодным выпрямителями.

Общая форма записи ряда Фурье содержит амплитуды и начальные фазы гармоник. Мы наблюдали ранее, как изменение начала координат (т.е. момента начала наблюдения) превращало ряд синусов в ряд косинусов. Так, при переносе начала координат на рис.4.1, а вправо на четверть периода последовательности прямоугольных импульсов (т.е. при переходе к рис. 4.3,а) изменились начальные фазы основной составляющей и высших гармоник на величины, кратные/2 рад (4.5).

Очевидно, если начало координат переносить на произвольное расстояние вправо или влево, то начальные фазы основной составляющей и гармоник в (4.5) будут принимать любые значения,а не только кратные/2 рад. В этом случае ряд (4.5) преобразуется в ряд

где =1,27U;- начальные фазы первой, третьей, пятой и т.д. гармоник.

Каждый сигнал, отличающийся от других по форме, имеет сугубо индивидуальный гармонический состав, т.е. содержит основную синусоиду и ее высшие гармоники со своими амплитудами и начальными фазами. Поэтому в общем случае ряд Фурье произвольного периодического сигнала записывается в форме

Umk –амплитудыk-йгармоники;— начальная фазаk-й гармоники.

Мы уже знаем, что амплитуды некоторых гармоник могут быть равны нулю, а фазы могут принимать любые значения, в числе и кратные /2рад — это зависит от формы сигнала (см. табл. 4.1).

Форма записи ряда Фурье (4.7) получила название синусоидальной тригонометрической.Она справедлива для любого момента наблюдения, т.е. для любого расположения начала координат, и широко используется вэлектротехнике.

Существуют две равноправные записи ряда Фурье в тригонометрической форме — через функцию синуса и через функцию косинуса. Ряд Фурье с использованием функции синуса мы записали в виде формулы (4.7). Чтобы заменить функцию синуса на функцию косинуса нужно учитывать сдвиг фаз между функциямиsinиcos:. Таким образом:

и

где угол k-йгармоникиотсчитывается от положительной горизонтальной оси, а уголот положительной вертикальной оси комплексной плоскости.

Чтобы избежать путаницы, примем в дальнейшем в качестве основной формызаписи ряда Фурье формулу (4.9) и, кроме то будем иметь дело не с угловой частотойа с линейной частотойв Гц, кГц, МГц, устанавливаемой на шкалах реальных зрительных приборов, так что ряд Фурье будет иметь вид

Уравнение (4.10) есть косинусоидальная тригонометрическаяформа ряда Фурье, и она широко используется врадиотехнике.

При анализе цепей часто удобно пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (4.10) с помощью формулы Эйлера и одной суммой дает запись ряда Фурье в комплексной форме:

Основные положения изложенных в п. 4.1 материалов: