Представление непериодических сигналов интегралом лапласа

Подстановка оператора вместоjωв интеграл (4.27, 4.28)приводит к следующим выражениям:

В выражении (7.1) и (7.2) нижние пределы интегрирования взяты равными нулю. Тем самым заранее предполагается, что напря­жения и токи отсутствуют при < 0. Это не слишком жесткое огра­ничение, накладываемое на сигналы, поскольку всегда можно вы­брать такое начало отсчета, ранее которого сигналы не существуют.

Выражение типа (7.1) получило название прямого преобразования Лапласа. Оно позволяет по временной форме сигнала определить его изображение по Лапласу. Выражение (7.2) называется обратным преобразованием Лапласа. Оно дает возможность перейти от изображения к оригиналу, т.е. к временному представлению сигнала.

Для сокращенной записи преобразований (7.1) и (7.2) используют знак соответствия ≓.

Таблица 7.1. Преобразования Лапласа сигналов, используемых при анализе цепей

Преобразования Лапласа для простейших функций рассчита­ны и сведены в справочные таблицы. Для теоретических и экспе­риментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используют испытатель­ные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной им­пульсной функции 𝛿(t) (функция Дирака), а также гармониче­ские импульсы включения, уровни постоянных напряжений, пря­моугольные импульсы, экспоненциальные сигналы и т.д. Ориги­налы и изображения сигналов, наиболее часто применяемых при анализе электрических цепей, приведены в табл. 7.1.

Определим изображения некоторых функций, оригиналы ко­торых приведены в табл. 7.1.

Пример 1. Найдем изображение напряжения в форме единичной функции которое соответствует включению по­стоянного напряжения, равного 1 В, в момент= 0.

Напряжение изображенное на рис. 7.1, можно представить как

Преобразование Лапласа напряжения u(t) рас­считаем, используя выражение (7.1):

Полученное изображение напряжения в форме единичной функции

соответствует выражению, приведенному в строке 1 табл. 7.1

Рис. 7.1. Напряжение в форме единичной функции

Любое произвольное постоянное напряжение, подключенное в момент времени = 0, может быть получено путем умножения единичной функции на соответствующую константу А, т.е. . Изображение такого напряжения приведено в строке 2 табл. 7.1:

Пример 2.Найдем изображения напряжения в форме экспо­ненциальной функции .

Согласно (7.1) изображение экспоненциального напряжения имеет вид

или в сокращенной форме

что соответствует выражению, приведенному в стро­ке 4 табл. 7.1.

Найдем изображение тока . Воспользуемся формулой Эйлера и представим косинусоидальную функциюв виде

Изображение гармонического тока полу­чим, используя прямое преобразование Лапласа (7.1) и разложение на две экспоненциальные функции:

Рассчитав сумму двух приведенных выше интег­ралов, получим

или

что соответствует выражению в строке 7 табл. 7.1.

Аналогичным образом, используя преобразование Лапласа, можно найти изображения синусоидального и ко­синусоидального сигналов, амплитуды которых затухают по экс­поненциальному закону (строки 8 и 9 в табл. 7.1), единичной импульсной функции

(строка 3 в табл. 7.1), а также типовых сигналов и их комбина­ций (строки 5, 10, 11, 12 табл. 7.1), применение которых будет показано в следующих параграфах.

Свойства преобразований Лапласа. Математическим опе­рациям над оригиналами соответствуют определенные операции над изображениями, называемые свойствами преобразований Лапласа. Они облегчают нахождение изображений сложных сигналов и вычисление искомых оригиналов по найденным изо­бражениям. Свойства преобразований Лапласа применимы к любым сигналам (токам и напряжениям), рассматриваемым в этой главе.

Умножение на константу. Если оригинал , имеющий изображение , умножается на постоянный коэффициент, то изображение тоже умножается на этот же самый коэффи­циент:

Аналогично

Это свойство легко доказать, взяв преобразование Лапласа (7.1) от функции или

Свойство линейности можно записать в виде

где — постоянные коэффициенты.

Свойство легко доказать, если применить к левой части пря­мое преобразование Лапласа (7.1)

Приведенные выше формулы означают, что преобразование Лапласа суммы нескольких оригиналов есть сумма преобразова­ний Лапласа каждого из оригиналов.

Пример 3.Найдем изображение напряжения

Для нахождения изображениявоспользуем­ся данными табл. 7.1 (строки 2, 4, 6, 9) и свойствами линейности и умножения на константу. Получим

Дифференцирование оригинала (теорема дифференцирования).

Эта математическая операция означает, что для нахождения пре­образования Лапласа производной от оригинала необходимо изо­бражение оригинала умножить на оператори вычесть началь­ное значение оригинала.

Для доказательства подставим в выражение для опре­деления прямого преобразования Лапласа (7.1):

После интегрирования по частям получаем

Если начальное значение оригинала равно нулю, т.е. = 0, то

Аналогично

при ненулевых начальных условиях,

при

Другими словами, операция дифференцирования во времен­ной области заменяется простой операцией умножения изображе­ния на оператор в операторной области.

Интегрирование оригинала (теорема интегрирования).

Эта математическая операция показывает, что для нахожде­ния преобразования Лапласа определенного интеграла от ориги­нала необходимо разделить изображение оригинала на оператор , т.е. операция интегрирования оригинала во временной области заменяется простой операцией деления изображения нав опе­раторной области.

Данную теорему доказывают, используя свойство дифферен­цирования оригинала.

Применение теорем дифференцирования и интегрирования оригинала позволяет переходить от интегродифференциальных уравнений для оригинала к более простым алгебраическим урав­нениям, записываемым для изображений, и дальнейшему опреде­лению оригинала по найденному изображению.

Пример 4. Найдем изображение напряжения, имеющего форму косинусоиды если известно, что нап­ряжение имеет изображение(см. строку 6 в табл. 7.1).

Определим производную функции

Получим

Воспользуемся теоремой дифференцирования (7.5) и получим изображение функции (t):

или

Найдем также изображение функции , применив свойство умножения на константу:

где — изображение оригинала.

Сравнивая два последних выражения, находим изображение напряжения u

или

что согласуется со строкой 7 табл. 7.1.

Теорема запаздывания.

Эта математическая запись означает, что сдвиг оригинала по оси времени на приводит к умножению изображения на экспоненту .

Теорема легко доказывается, если осуществить замену пере­менной и взять преобразование Лапласа (7.1) функции.

Подобное соотношение можно записать и для оригинала В дальнейшем будем рассматривать свойства преобразова­ний Лапласа главным образом для напряжения.

Пример 5. Найдем изображение экспоненциального напряже­ния (рис. 7.2, а)

Представим напряжение как сумму двух напряжений (рис. 7.2,б):

Изображение напряженияимеет вид (строка 4 табл. 7.1)

Напряжениес учетом теоремы запаздыва­ния (7.7) имеет изображение

На основании свойства линейности

получаем изображение напряжения, показан­ного на рис. 7.2, а:

Этот же результат получается, если найти пря­мое преобразование Лапласа непосредственно для за­данного напряжения:

Имеем

Рис. 7.2. Напряжение в форме экспоненциального импульса

Теорема смещения.

Эта теорема констатирует, что если оригинал умножает­ся на, то изображение этого произведения получается заме­нойв изображенииоригиналана. Причемα может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Теорема (7.8) следует непосредственно из прямого преобра­зования Лапласа, если в (7.1) вместоподставить .

Пример 6.Найдем изображение синусоидального напряжения, амплитуда которого затухает по экспоненциальному закону

Из табл. 7.1 следует, что оригиналу соответствует изображениеПо теореме смещения (7.8) умножениена приводит к замене в операторана, по­этому изображениесигнала имеет вид

что согласуется со строкой 8 в табл. 7.1.

Теорема подобия (изменение масштаба независимого пере­менного).

где ˗ постоянный вещественный коэффициент. Эта теорема ус­танавливает, что изменению масштаба оригинала по оси времени соответствует изменение масштаба изображения. Причем умно­жение временина коэффициента ведет к делению изображения и переменной на тот же самый коэффициент.

Теорема доказывается следующим образом. Находим прямое преобразование Лапласа (7.1) для оригинала :

Пример 7. Найдем изображение экспоненциального нап­ряжения, если известно изображение экспоненциального напряжения

По теореме подобия (7.9) с учетом того, что, получаем

Пример 8.Найдем теперь изображение , используя преобразование Лапласа (7.1):

Получили тот же самый результат, что и при применении теоремы подобия.

Теорема свертки.

Эта теорема устанавливает, что умножению изображений в области переменной соответствует свертка оригиналов во вре­менной области.

Пример 9. Найдем изображение свертки двух напряжений,.

Изображения напряжений иприве­дены в табл. 7.1:

По теореме свертки изображение свертки оригиналов имеет вид

Найдем также изображение свертки оригиналов напряжений и, используя прямое пре­образование Лапласа. Для этого определим вначале функцию свертки:

Преобразование Лапласа (7.1) оригинала напря­жения

совпадает с изображением, полученным с применени­ем теоремы свертки.

По полученному изображению легко найти спектр сигнала. Для этого заменяемнаи полу­чаем комплексную спектральную плотность

Сопоставление свойств и теорем преобразований Лапласа и Фурье, рассмотренных в гл. 4 и 7, показывает, что при замене опера­тора наи наоборот теоремы и свойства преобразований Лап­ласа и Фурьепереходят друг в друга. А это означает, что спектры непериодических сигналов можно вычислить с помощью прямого преобразования Лапласа и его свойств и теорем. В свою очередь, физическая интерпретация теорем спектрального анализа позволяет понять физический смысл теорем операционного исчисления.

Переход от изображений к сигналам. Для нахождения сиг­нала по его изображению можно использовать обратное преобра­зование Лапласа (7.2). Однако обычно такой подход до­вольно трудоемок, и на практике используют более простые спо­собы. Проще всего применить справочные таблицы, устанавли­вающие соответствие между оригиналами и их изображениями для типовых воздействий в электрических цепях, например, мож­но использовать табл. 7.1.

Основные положения изложенных в гл. 7 материалов:

• Преобразование Лапласа является обобщением преобразо­вания Фурье. Заменой оператора на оператор и на­оборот осуществляется переход от одного преобразования к другому.

• Спектральная плотность сигнала — это сечение его изобра­жения по Лапласу вдоль мнимой оси комплексной плоско­сти. Это означает, что спектры сигналов могут быть вы­числены с помощью прямого преобразования Лапласа и, наоборот, физический смысл теорем операционного исчис­ления раскрывают теоремы о спектрах.