6.4.4. Метод интеграла Дюамеля

Он позволяет находить отклик цепи при нулевых начальных условиях при произвольном входном сигнале и известной переходной (импульсной) характеристики цепи (рис.6.6).

Произвольный импульсный сигнал (рис.6.7.) заменим совокупностью элементарных ступенчатых сигналов с амплитудами ∆х, возникающими в моменты времени τ_к со сдвигом по времени на .

Как следует из рисунка х₀ - амплитуда нулевого ступенчатого сигнала. Тогда отклик на него ;

- амплитуда элементарного ступенчатого сигнала, рассчитывается из выражения , где х'(τ_к) – производная от сигнала в момент времени τ_к,, она равна тангенса угла наклона сигнала в момент времени τ_к. Тогда, отклик на элементарный ступенчатый сигнал равен .

Используя принцип суперпозиции и переходя к пределу суммы при Δτ→0 (Δτ=dτ) можно записать что

.

Последнее выражение и называется интегралом Дюамеля. Оно позволяет получить отклик на заданное воздействие в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование ведется по τ – текущее время (0<τ<t), причем выражения х'(τ) и h(t- τ) получают из выражений для х(t) и h(t) путем замены t на τ и t- τ.