logo
лекции / elekteh_lek / 5

6.4.1. Классический метод анализа

Он сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между откликом и воздействием. Порядок применения метода следующий.

  1. составление дифференциального уравнения и приведение его к стандартному виду.

Уравнение составляется на основе законов Ома и Кирхгофа, а также с использованием метода контурных токов, узловых потенциалов и других. При составлении уравнения используют следующие соотношения:

При составлении уравнения за неизвестные принимают переменные состояния цепи, т.е. величины, которые отражают энергетическое состояние цепи. К ним относят uc, и iL. Составленные уравнения цепи после преобразований, приведения подобных членов и дифференцирования сводят к неоднородному линейному уравнению.

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ):

где: y(t) – отклик; х(t) – воздействие; ai – постоянные, зависящие от R, L, C

n – порядок дифференциального уравнения. Порядок ДУ зависит от числа реактивных элементов и схемы их соединения. В простейшем случае число реактивных элементов равно n.

  1. Запись общего решения ЛНДУ.

Оно состоит из суммы двух составляющих:

y(t) =y1(t) + y2(t).

y1(t) – это общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f=0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения. Это решение известно и равно

,

где pi – корни характеристического уравнения, Ai- постоянные интегрирования.

y2(t) – это частное решение НЛДУ, оно зависит от x(t), а потому называется вынужденной составляющей общего решения.

  1. Нахождение вынужденной составляющей y2(t).

Она зависит от воздействия. Если входной сигнал имеет стационарный режим, то за частное решение принимают решение уравнения в установившемся (стационарном) режиме. При ступенчатом воздействии такой режим имеет место, когда t  . Это соответствует постоянной составляющей, т.е. гармоническому сигналу с нулевой частотой, , а потому y2(t) находят из схемы замещения исходной цепи при =0.

  1. Нахождение pi.

Коэффициенты экспоненты находятся как корни характеристического уравнения, которое получают из дифференциального путем замены производных на:

.

  1. Нахождение постоянных интегрирования Ai.

Постоянные интегрирования общего решения определяются из начальных условий (при t = 0) для искомой функции и ее производных.

; ;

Конкретные значения этих функции при t=0 находят из схем замещения исходной цепи при t =+0 с учетом законов коммутации для L, C элементов. Если входной сигнал ступенчатая функция, то мгновенному изменению входного сигнала при t = 0 соответствует гармонический сигнал с   , а потому искомые значения находят из схемы замещения исходной цепи при   .

6) Анализ корней характеристического уравнения и запись окончательного решения.