3.2.2.2 Колебательное звено

Это звено получается при комплексных сопряженных полюсах передаточной функции (3.1). Передаточную функцию звена удобнее записывать в виде

,

где , а параметрназываетсякоэффициентом демпфирования. Для колебательного звена . Можно также отметить, что приполюсы передаточной функции (3.1) становятся вещественными и звено будет апериодическим второго порядка.

Получим формулы для частотных характеристик колебательного звена:

,

,

,

.

Частотные характеристики колебательного звена приведены на рис. 3.10. Они существенно зависят от величины коэффициента демпфирования . ПриАЧХ(рис. 3.10, а) монотонно уменьшается с увеличением частоты. При на ней появляется «горб», который увеличивается по мере уменьшения. На ЛАЧХ (рис. 3.10, б) «горб» проявляется при , при больших значениях коэффициента демпфирования ЛАЧХ приближается к ее асимптотическому варианту (имеет нулевой наклон до частоты сопряженияи наклон –40дБ/дек после этой частоты).

Рис. 3.10 — Частотные характеристики колебательного звена

Величина «горба» на частоте может быть оценена по соотношению [6]:

.

Переходная функция колебательного звена может быть получена по формуле (2.14) при комплексных сопряженных полюсах (привыражениестановится меньше нуля):

. (3.4)

На рис. 3.11 показаны переходные характеристики колебательного звена, рассчитанные по выражению (3.4) для различных значений коэффициента демпфирования . Частота собственных колебаний переходной характеристики оценивается по выражениюи равна мнимой части полюсов. Ее можно также определить и по АЧХ (см. рис. 3.10,а, частоты и, соответствующие максимальным значениям на АЧХ). Огибающая (см. пунктир на рис. 3.11) определяется формулой. Время переходного процесса на практике оценивается соотношением

.

Примером звена второго порядка может служить колебательный контур (см. схему на рис. 2.6 и вывод передаточной функции в примере 2.5).

Рис. 3.11 — Переходные характеристики колебательного звена

Пример 3.2

Определить, при каком соотношении параметров элементов схемы колебательный контур (см. рис. 2.6) является колебательным звеном.

Запишем полученную в примере 2.5 передаточную функцию с использованием коэффициента демпфирования:

Отсюда выразим коэффициент демпфирования:

.

Звено будет колебательным, если , т.е.

.

В противном случае, т.е. при

,

контур будет являться апериодическим звеном второго порядка.

Следует обратить внимание на то, что лишь с позиций математического описания схему можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Расчленить же принципиальную схему на два участка, каждый из которых был бы соответствующим апериодическим звеном первого порядка, невозможно.

Пример 3.3

Вывести передаточную функцию и определить ее параметры для устройства, схема которого приведена на рис. 3.12, а.

Устройство выполнено на операционных усилителях, реализующих инерционное, интегрирующее и пропорциональное звенья (см. разделы 3.2.1.1, 3.2.1.2, 3.2.1.4). На выходе усилителя DA1 происходит преобразование и суммирование напряжений по каждому из его входов. Его передаточные функции относительно входного напряжения и напряжения обратной связипредставляются выражениями

.

Полученный сигнал проходит через последовательно включенное интегрирующее звено на усилителе DA2 с передаточной функцией .

Выход усилителя DA2 образует выход устройства и сигнал с него через усилитель DA3 с передаточной функцией поступает на второй вход усилителяDA1.

Рис. 3.12 — Устройство на операционных усилителях (а)

и его структурная схема (б)

На рис. 3.12, б приведена структурная схема, соответствующая устройству, изображенному на рис. 3.12, а. Эквивалентная передаточная функция участка схемы, охваченного обратной связью, рассчитывается по выражению:

Таким образом, передаточная функция устройства, изображенного на рис. 3.12, а, будет равна

где ,,.

Рассмотренное устройство позволяет легко реализовать как колебательное, так и апериодическое звено второго порядка. Если, например, принять , то при известных значенияхиможно определить номиналы остальных элементов:

. (3.5)