Представление непериодического воздействия интегралом Фурье

Рассмотрим периодическую последовательность прямоуголь­ных импульсов (рис. 4.11, а). Увеличивая период Тэтой последо­вательности, легко перейти приТот периодического сигнала к непериодическому (рис. 4.11,г).

Увеличение периода Тсигнала приводит к уменьшению час­тоты первой гармоники=2π/Ти сгущению спектральных ли­ний. Уменьшаются также амплитуды гармоник поскольку остающаяся неизменной энергия сигнала распределя­ется теперь между возросшим числом гармоник и, естественно, доля каждой гармоники в общем сигнале падает (рис. 4.12).

Рис. 4.11. Увеличение периода последовательности прямоугольных импульсов

При Т периодическая последовательность импульсов пе­реходит в одиночный импульс (рис. 4.11,г).В спектре такого сиг­нала вместо отдельных гармоник будет бесконечно большое число синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами. Другими словами, в любой бесконечно узкой полосе частот есть синусоидальное колебание бесконечно малой амплитуды.

Сравнивать между собой бесконечно малые величины не­удобно, поэтому вместо амплитуд (рис. 4.12) по оси ординат откладывают величину(Т)/2,которая при увеличении пе­риодаТостается неизменной. Введем новые обозначения для осей ординат на рис. 4.13:U() = (Т/2).В новых коорди­натах спектры сигналов (рис. 4.11) выглядят так, как показано на рис. 4.13,а–г. Спектр непериодического сигнала является в об­щем случае не дискретным, а непрерывным(сплошным).

Для комплексного спектра введенное на рис. 4.13 обозначение примет вид:

Ранее была получена пара преобразований (4.19) и (4.11) ,позволяющих найти спектр периодического сигнала и вос­становить периодический сигналu(t) по его спектру:

Рис. 4.12. Спектры амплитуд периодических последовательностей импульсов с разными периодами

Получим подобную пару преобразований для непериодическо­го сигнала, изображенного на рис. 4.11, г.Для этого нужно в вы­ражении (4.24) устремить периодТк бесконечности и совершить в формулах (4.23) и (4.24) предельные переходы.

Сначала выразим из (4.1) комплексную амплитуду в ви­деи подставим ее в (4.23) и (4.24). Перепи­шем теперь эти выражения в виде

и

В выражении (4.25) учтено, что Т =.Затем устремим период к бесконечности (Т). Гармоники будут сгущаться и дискретная частотаперейдет в текущую частоту, а значе­ние частоты первой гармоникибудет стремиться к бесконечно малой величинеd.

После предельного перехода получаем из (4.25) и (4.26)

Уравнения (4.27) и (4.28) являются основными в теории спек­тров непериодическихсигналов, причем (4.27) называетсяпря­мым,а (4.28) -обратным преобразованием Фурье (интегралом Фурье). Взаимное преобразование Фурье символически обозначается , где ≓ - знак соответствия этого преобразования.

Если вместо частоты ω использовать частоту f, то эти урав­нения примут вид.

Рис. 4.13. Переход к спектральной плотности прямоугольного импульса

Основные положения изложенных в п. 4.4 материалов:

• Сигнал и его Фурье-изображение связаны парой инте­гральных преобразований, называемых преобразованиями Фурье.