Методы исследования автоколебаний Критерий Бендиксона

В ряде случаев можно воспользоваться критериями, с помощью которых удается показать, что в фазовом портрете рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий, т.е. в рассматриваемой системе автоколебания отсутствуют. Одним из таких критериев отсутствия замкнутых фазовых траекторий, дающих достаточные условия отсутствия автоколебаний, является критерий Бендиксона, который наиболее прост для практического применения.

Пусть рассматриваемая система описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка

где F₁(y₁,y₂), F₂ (y₁,y₂)- нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости.

Критерий Бендиксона формулируется следующим образом: если в некоторой области на фазовой плоскости выражение ∂F₁/∂y₁+∂F₂/∂y₂ знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий.

В тех случаях, когда критерий Бендиксона не выполняется или не может быть использован, например, функции F₁(y₁,y₂), F₂ (y₁,y₂)-не являются аналитическими, применяются другие методы для определения автоколебательных режимов.

Прежде чем рассмотреть другие методы нахождения автоколебаний, приведем следующий пример на использование критерия Бендиксона.

Пример 10.2.2 Пусть химический реактор идеального перемешивания, в котором протекает химическая реакция типа A → 2B, описывается следующими уравнениями

где y₁ ,y₂ - текущие концентрации реагентов в реакторе;y₁₀,y₂₀- начальные входные концентрации реагентов; λ - расход; t - время.

Требуется ответить на вопрос: будут или нет автоколебания в химическом реакторе, используя критерий Бендиксона. В соответствии с этим критерием находится выражение

Очевидно, что в соответствии с физическим смыслом у₁≥0,y₂≥0 т.е. концентрации не могут быть отрицательными, а также λ>0, последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию. Следовательно, согласно критерию Бендиксона в рассматриваемой системе - химическом реакторе автоколебания существовать не могут.