Метод припасовывания

Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 10.2.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочнолинейной статической характеристикой.

Рисунок 10.2.10 - Структурная схема нелинейной системы

Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траектории этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на следующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец предыдущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называется линией переключения.

Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следующей последовательности:

1) выбираются или задаются начальные условия;

2) интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали начальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

3) производится припасовывание начальных условий.

Пример 10.2.1 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом припасовывания.

Нелинейная система описывается следующей системой дифференциальных уравнений

Начальные условия: y₁(0)=y₁₀=−1;y₂(0)=y₂₀=−1

Статическая характеристика нелинейного элемента является кусочно-линейной функцией, имеющей два участка линейности. В связи с этим система дифференциальных уравнений для первого и второго участков соответственно будет иметь вид

Фазовая плоскость разбивается на участки, на каждом из которых движение изображающей точки описывается одним из линейных уравнений (*) или (** ). Границей между участками является линия АВСD - линия переключения (рис. 10.2.11).При заданных начальных условиях изображающая точка находится на входе в первый участок, следовательно, первый участок фазовой траектории М₀М₁ находится интегрированием уравнения (*) при начальных условиях y₁₀,y₂₀. Поделив второе уравнение на первое, получают dy₂/dy₁=1/y₂, откуда уравнение фазовой траектории

,

где C=−3/2

Конечная точка первого участка находится как точка пересечения с линией переключения АВ, на которой y₁ =1 , следовательно из ,y₂=2,23. Координаты точки М 1( 1;2,23) являются начальными условиями для решения системы уравнений (** ), описывающей второй участок фазовой траектории М₁М₂, т.е. так же как для первого участка, для второго участка получают

, откуда , C 1 = − 3 ,5

Координаты точки М ₂ находятся как координаты точки пересечения фазовой траектории второго участка с линией переключения CD:

y1= −1 ;y2=−3

Продолжая аналогичные рассуждения, находят все остальные участки фазовой траектории. Фазовый портрет системы приведен на рис. 10.2.11, он представляет собой участки парабол с вершинами, расположенными на оси y₁ и припасовыванными друг к другу на линии переключения.