5.3.1 Частотные критерии оценки качества

Наибольшее распространение получили частотные критерии, в основу которых положено использование частотных характеристик САУ. Для иллюстрации возможности оценки качества переходного процесса по частотным характеристикам установим точную аналитическую зависимость между переходной характеристикой и частотными характеристиками САУ (ВЧХ, АЧХ, ЛАЧХ и т.д.).

В качестве примера рассмотрим связь переходных характеристик САУ с вещественной частотной характеристикой .

Пусть на вход устойчивой САУ, передаточная функция которой не содержит полюсов в правой полуплоскости, подано единичное ступенчатое воздействие. Из этого следует, что импульсная переходная функцияудовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и может быть вычислена с помощью обратного преобразования Фурье по формуле

.

Если вещественная часть функции— четная функция, а мнимая часть— нечетная функция, то получим

.

Так как при оригинал равен нулю и, то

или

.

В окончательном виде оригинал запишется соотношением

. (5.7)

Поскольку переходная функция САУ является интегралом от импульсной переходной функции, т.е. , то связь между переходной характеристикой САУ и ее ВЧХ находится путем подстановки формулы (5.7) в соотношение между двумя временными характеристиками:

. (5.8)

Формула (5.8) представляет собой запись интеграла Фурье для четной функции в вещественной форме, поэтому, ввиду абсолютной интегрируемости функции , можно изменить порядок интегрирования:

.

После вычисления внутреннего интеграла окончательно получим:

. (5.9)

Пользуясь формулой (5.9), можно непосредственно или приближенно [4, 5] по ВЧХ замкнутой САУ рассчитать ее переходную характеристику. Также можно составить предварительное приближенное суждение о качестве по виду ВЧХ. Различные виды ВЧХ представлены на рис. 5.5.

Рис. 5.5 — Типы вещественных частотных характеристик САУ

Основные положения оценки качества переходного процесса по ВЧХ сводятся к следующему.

1. Установившееся значение переходной характеристики определяется начальным значением ВЧХ . Начальное значение определяется конечным значением ВЧХ .

2. Двум ВЧХ, сходным по форме, но отличающимся масштабом по оси абсцисс в раз, соответствуют переходные характеристики, сходные по форме, но отличающиеся масштабом по оси абсцисс враз. Двум ВЧХ, сходным по форме, но отличающимся масштабом по оси ординат враз, соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме, но отличающиеся масштабом по оси ординат враз.

3. Разрыв непрерывности на ВЧХ свидетельствует о том, что система находится на границе устойчивости. Разрыву при соответствует апериодическая граница устойчивости (наличие нулевого полюса в передаточной функции), а разрыву при— колебательная граница устойчивости (наличие чисто мнимых полюсов в передаточной функции).

4. Если ВЧХ непрерывна, положительна и имеет вид вогнутой кривой (кривая 1 на рис. 5.5), то переходная характеристика монотонна.

5. При положительной невозрастающей ВЧХ (кривая 2 на рис. 5.5) перерегулирование в системе не превышает 18 %, т.е. %.

6. При наличии у положительной ВЧХ максимума (величина на кривой 3 рис. 5.5) перерегулирование в системе оценивается неравенством

. (5.10)

7. Если ВЧХ имеет положительный и отрицательный экстремумы (величины идля кривой 4 на рис. 5.5), то перерегулирование в системе оценивается неравенством

. (5.11)

8. Острый пик на ВЧХ на угловой частоте соответствует медленно затухающим колебаниям переходной характеристики с частотой, близкой к частоте.

9. Если ВЧХ непрерывная, невозрастающая и по форме приближается к трапецеидальной (рис. 5.6), то время переходного процесса можно определить по соотношению

.

Частота называетсясущественной частотой.

Следует отметить, что оценка перерегулирования по форме ВЧХ имеет весьма приблизительный характер. Реальное перерегулирование может быть в десятки раз меньше значений, рассчитанных по формулам (5.10), (5.11).

Колебательность переходной характеристики можно оценить по величине относительного максимума амплитудной частотной характеристики (АЧХ) , примерный вид которой представлен на рис. 5.7.

Рис. 5.6 — Трапецеидальная ВЧХ Рис. 5.7 — Определение показателей

качества по АЧХ

Величина относительного максимума называется показателем колебательности и определяется соотношением

,

где — частота собственных колебаний переходной характеристики замкнутой САУ.

При переходный процесс в САУ монотонный (пунктирная линия на рис. 5.7). Чем больше, тем больше колебательность. Прив системе имеют место незатухающие колебания.

Физический смысл этой оценки заключается в том, что она показывает максимально возможное отношение амплитуды выходной величины к амплитуде гармонического входного воздействия. Значение примерно соответствует количеству колебаний, которые совершает переходная характеристика САУ до ее входа в область% от установившегося значения.

Показатель колебательности также связан с запасами устойчивости. Считается, что система имеет допустимые запасы устойчивости, если, хорошие запасы устойчивости, если. Оптимальным обычно считается, если.

Вследствие предельной простоты построения ЛАЧХ удобно пользоваться именно этой характеристикой. Информацию здесь несет среднечастотная часть ЛАЧХ. На частоте среза наклон ЛАЧХ должен составлять минус 20 дБ/дек, а значениеопределяется временем переходного процессаи перерегулированием:

.

Здесь значение берется по графику, показанному на рис. 5.8, а в зависимости от величины перерегулирования . При этом частоты сопряжения слева и справа от частоты среза, как показано на рис. 5.8, б, рассчитываются по формулам

, .

Рис. 5.8 — Оценка времени переходного процесса по ЛАЧХ

Величины наклонов ЛАЧХ слева от и справа отна качество переходного процесса почти не влияют.

Описанная методика оценки времени переходного процесса по ЛАЧХ применяется при синтезе последовательных корректирующих устройств, изложенном в разделе 6.