5. Ассоциативность функций и (and), или (or), и-не (nand) или-не (nor), xor, xnor.

Элемент И-НЕ. Закон коммутативности выполняется, а ассоциативности – нет. Невыполнение ассоциативности проиллюстрируем ниже (выражение 2.2 и рис. 2.14).

(2.2)

Истинность выражения (2.2) демонстрируется выражениями (2.3).

(2.3)

В схемной реализации это проиллюстрировано на рис. 2.14.

Рисунок 2.14 – Иллюстрация невыполнимости ассоциативности в базисе Шеффера

Для функции И базиса Буля ассоциативность иллюстрируется рис. 2.15. Каскадное соединение двух двухвходовых вентилей эквивалентно одному трехвходовому.

Рисунок 2.15 – Иллюстрация выполнимости ассоциативности в базисе Буля

Рассмотрим переход от базиса Буля к базису Шеффера. Функция в базисе Буля может быть представлена в любой форме, в том числе и в канонической (в виде ДНФ или КНФ). Следующая функция записана в виде ДНФ.

Вне зависимости от представления функции для перехода к базису Шеффера необходимо поставить над выражением двойное отрицание и выполнять преобразования по законам де Моргана.

На рис. 2.16 представлена схемная реализация функции в базисе Буля

Рисунок 2.16 – Схемная реализация функции в базисе Буля

На рис. 2.17 представлена схемная реализация функции в базисе Шеффера

Рисунок 2.17 – Схемная реализация функции в базисе Шеффера

Сформулируем правило перехода от ДНФ к уравнению в базисе Шеффера. При переходе от ДНФ к уравнению в базисе Шеффера все термы (элементарные коньюнкции) заключаются в скобки, а все знаки коньюнкций и дизьюнкций заменяются на знак операции Шеффера. Над однобуквенными термами ставятся знаки отрицания.

ИЛИ-НЕ. Закон коммутативности выполняется, а ассоциативности – нет. Невыполнение ассоциативности проиллюстрируем ниже (выражение 2.5 и рис. 2.19).

(2.5)

Истинность выражения (2.5) демонстрируется выражениями (2.6).

(2.6)

В схемной реализации это проиллюстрировано на рис. 2.19.

Рисунок 2.19 – Иллюстрация невыполнимости ассоциативности в базисе Пирса

Для функции ИЛИ базиса Буля ассоциативность иллюстрируется рис. 2.20. Каскадное соединение двух двухвходовых вентилей эквивалентно одному трехвходовому.

Рисунок 2.20 – Иллюстрация выполнимости ассоциативности в базисе Буля

Рассмотрим переход от базиса Буля к базису Пирса. Функция в базисе Буля может быть представлена в любой форме, в том числе и в канонической (в виде ДНФ или КНФ). Следующая функция записана в виде КНФ.

Вне зависимости от представления функции для перехода к базису Пирса необходимо поставить над выражением двойное отрицание и выполнять преобразования по законам де Моргана.

На рис. 2.21 представлена схемная реализация функции в базисе Буля

Рисунок 2.21 – Схемная реализация функции в базисе Буля

На рис. 2.22 представлена схемная реализация функции в базисе Пирса

Рисунок 2.22 – Схемная реализация функции в базисе Пирса

Сформулируем правило перехода от КНФ к уравнению в базисе Пирса. При переходе от КНФ к уравнению в базисе Пирса все термы (элементарные дизьюнкции) заключаются в скобки, а все знаки коньюнкций и дизьюнкций заменяются на знак операции Пирса. Над однобуквенными термами ставятся знаки отрицания.

Рассмотрим переход от ДНФ к базису Пирса на примере функции . Для этого необходимо поставить двойные отрицания над всеми термами и над выражением в целом, раскрывая их по правилу де Моргана.

В результате получается менее экономичная с точки зрения аппаратурных затрат реализация, поскольку появляется дополнительная ступень в виде двухвходового элемента, необходимая для реализации инверсии (входные инверсии обычно не учитываются). Это проиллюстрировано на рис. 2.23.

а)

б) в)

Рисунок 2.23 – Схемная реализация функции в базисах Буля (а), Шеффера (б) и Пирса (в)

Аналогично выполняется переход от КНФ к Базису Шеффера (выполнить самостоятельно на примере функции ).

Для функции XOR ассоциативность иллюстрируется рис. 2.26. Каскадное соединение двух двухвходовых вентилей эквивалентно одному трехвходовому. Справедливость этого высказывания можно проверить, составив две таблицы истинности (выполнить самостоятельно).

Рисунок 2.26 – Иллюстрация выполнимости ассоциативности XOR

Для функции XNOR ассоциативность не выполняется. Это иллюстрируется рис. 2.27. Каскадное соединение двух двухвходовых вентилей не эквивалентно одному трехвходовому. Справедливость этого высказывания можно проверить, составив две таблицы истинности (выполнить самостоятельно).

Рисунок 2.27 – Иллюстрация невыполнимости ассоциативности XNOR

На рис. 2.28 приведены временные диаграммы последних четырех рассмотренных стандартных логических элементов.

Рисунок 2.28 – Временные диаграммы