9. Кубические покрытия элементов и (and), или (or), и-не (nand) или-не (nor), xor, xnor (доделать!!!)

Рассмотрим процесс построения кубического покрытия на примере логического элемента 3И. Таблица истинности этого элемента содержит 8 кубов и представлена на рис. 2.44, справа от изображения элемента ЗИ. Построение КП выполняется с использованием операции неполного склеивания:

Для склеивания кубов это означает, что в записи остаются склеиваемые кубы и записывается результат склеивания (полного).

Рисунок 2.44 – Построение КП для элемента 3 И

На рис. 2.44 справа от изображения элемента представлена таблица истинности этого элемента (8 кубов), нумерованных от 1 до 8. Все кубы имеют нулевой ранг. В следующей колонке, которая названа «1-й ранг» представлены результаты склеивания кубов нулевого ранга, имеющих «0» на выходе (кубы 1-го ранга). Результаты склеивания обозначены буквами a, b, c, d, e. В следующей колонке, которая названа «2-й ранг» представлены результаты склеивания кубов первого ранга, обозначенных соответствующими буквами. В результате склеивания получаются кубы второго ранга, которые в дальнейшем уже не могут быть склеены. В крайней правой колонке приведены результаты минимизации кубов, имеющих 0 на выходе плюс куб, имеющий 1 на выходе, который не участвовал в минимизации. В совокупности они образуют кубическое покрытие элемента 3И. По аналогичной процедуре строятся КП других логических элементов.

На рис. 2.45 приведены кубические покрытия логических элементов 3 И и 3 И-НЕ.

Рисунок 2.45 – Построение КП для элементов 3 И и 3 И-НЕ

На рис. 2.46 приведены кубические покрытия логических элементов 3 ИЛИ и 3 ИЛИ-НЕ.

Рисунок 2.46 – Построение КП для элементов 3 ИЛИ и 3 ИЛИ-НЕ

Для некоторых логических элементов полная таблица истинности не минимизируется, т.е. КП совпадает с таблицей истинности. К таким элементам относятся, в частности, элементы XOR («сумма по модулю 2»). На рис. 2.47 приведено изображение элемента 3XOR и его кубическое покрытие, содержащее 8 кубов. Отметим, что данное покрытие совпадает с таблицей истинности трехвходового элемента XOR. Аналогична ситуация с инвертором.

Рисунок 2.47 – Построение КП для элемента 3 XOR

Отметим, что КП логических элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ являются регулярными, т.е. структура покрытий не зависит от числа входов элемента. Для любого из вышеперечисленных n-входовых логических элементов КП содержит (n + 1) кубов. В качестве примера на рис. 2.48 приведено кубическое покрытие элемента 5И, т.е. пятивходового элемента И.

Рисунок 2.48 – Построение КП для элемента 5 И