2.4 Теоремы о спектрах
Свойство линейности.
Если имеется некоторая совокупность сигналов причём,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:
(2.11)
Здесь - произвольные числовые коэффициенты.
Теорема о сдвигах.
Предположим, что для сигнала известно соответствие. Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий насекунд позднее. Принимая точкуза новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как. Введём замену переменной:. Тогда,
Модуль комплексного числа при любыхравен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотой зависимости аргумента от его спектральной плотности (фазовом спектре).
Теорема масштабов.
Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль временииграет новая независимая переменная(- некоторое вещественное число.) Если> 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то :
Произведём замену переменной , тогда, откуда следует:
(2.13)
При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается враз.
Очевидно, что при растягивании сигнала во времени ( т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.
Пусть сигнал и его спектральная плоскостьзаданы. Будем изучать новый сигнали поставим цель найти его спектральную плотность.
По определению:
(2.14)
Преобразование Фурье – линейная операция, значит, равенство (2.14) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:
(2.15)
Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.15) и ограничиваясь первыми двумя числами, находим
(2.16)
Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое числоявляется оператором дифференцирования, действующим в частотной области.
Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция является неопределённым интегралом по отношению к функции. Интеграл это есть, значит- его спектральная плотность, аиз формулы (2.16) равна:
(2.17)
Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.
Теорема о свёртке.
Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.
Пусть и- два сигнала, для которых известны соответствия,.Образуем произведение этих сигналов:и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу:
(2.18)
Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.18):
Изменив порядок интегрирования, будем иметь:
откуда:
(2.19)
Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций V и U. Символически операция свёртки обозначается как *
Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:
(2.20)
Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:
Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём
и , то сигналявляется свёрткой сигналови, но уже не в частной , а во временной области:
(2.21)
Теорема Планшереля
Пусть два сигнала и, в общем случае комплексные , определены своими обратными преобразованиями Фурье:
;
.
Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:
Здесь внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигналапоэтому:
(2.22)
Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.
- Системы электрической связи. Общие сведения о системах электросвязи. Основные понятия и определения
- Часть 1
- Раздел 1. Элементы общей теории сигналов
- 1.1 Классификация сигналов
- 1.2. Некоторые элементы функционального анализа сигналов
- 1.3 Основы теории ортогональных сигналов
- Раздел 2. Спектральные представления сигналов
- 2.1. Понятие о спектре периодических и непериодических сигналов
- 2.2 Спектральное представление периодических сигналов
- 2.3 Спектральное представление непериодических сигналов
- 2.4 Теоремы о спектрах
- 2.5 Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций
- Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром
- 3.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром
- 3.2 Теорема Котельникова
- 3.3. Узкополосные сигналы
- 3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- 4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр
- 4.2. Автокорреляционная функция сигналов
- 4.3. Акф дискретного сигнала
- 4.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- Раздел 5. Модулированные сигналы
- 5.1. Сигналы с амплитудной модуляцией
- 5.2 Сигналы с угловой модуляцией
- 5.3. Дискретные формы угловой модуляции
- 5.4 Сигналы с импульсной модуляцией
- Раздел 6. Основы теории случайных процессов
- 6.1. Случайные процессы. Основные понятия и определения
- 6.2. Характеристики случайных процессов
- 6.3. Моментные функции случайных процессов
- 6.4. Свойства случайных процессов
- 6.5. Функция корреляции двух случайных процессов
- 6.6. Измерение характеристик случайных процессов
- 6.7. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- 6.8 Типовые модели случайных сигналов
- 6.9 Узкополосные случайные сигналы
- Раздел 7. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- 7.1. Дискретное преобразование Фурье
- 7.2. Быстрое преобразование Фурье
- 7.3 Z-преобразование
- Раздел 1.Каналы электросвязи
- Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация
- 1.2 Математические модели каналов электросвязи
- 1.2.1 Математические модели непрерывных каналов связи
- 1.2.2 Математические модели дискретных каналов связи
- Раздел 2 Основные положения теории передачи информации
- 2.1 Информационные параметры сообщений и сигналов
- 2.2 Взаимная информация
- Эффективное кодирование дискретных сообщений
- Тема 2.4. Информация в непрерывных сигналах
- Тема 2.5. Пропускная способность канала связи
- Тема 2.6. Теорема к. Шеннона
- Тема 2.7. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- Раздел 3. Оптимальный приём дискретных сообщений
- Тема 3.1. Постановка задачи оптимального приёма дискретных сообщений как статистической задачи. Понятие помехоустойчивости
- 3.2. Элементы теории решений
- 3.3. Критерии качества оптимального приёмника
- 3.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
- 3.5 Структурное построение оптимального приёмника
- 3.6 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- 3.8 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- 3.9 Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)