2.4 Теоремы о спектрах

1. Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов причём,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

(2.11)

Здесь - произвольные числовые коэффициенты.

2. Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала известно соответствие. Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий насекунд позднее. Принимая точкуза новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как. Введём замену переменной:. Тогда,

Модуль комплексного числа при любыхравен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотой зависимости аргумента от его спектральной плотности (фазовом спектре).

3. Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль временииграет новая независимая переменная(- некоторое вещественное число.) Если> 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то :

Произведём замену переменной , тогда, откуда следует:

(2.13)

При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается враз.

Очевидно, что при растягивании сигнала во времени ( т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

4. Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.

Пусть сигнал и его спектральная плоскостьзаданы. Будем изучать новый сигнали поставим цель найти его спектральную плотность.

По определению:

(2.14)

Преобразование Фурье – линейная операция, значит, равенство (2.14) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:

(2.15)

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.15) и ограничиваясь первыми двумя числами, находим

(2.16)

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое числоявляется оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция является неопределённым интегралом по отношению к функции. Интеграл это есть, значит- его спектральная плотность, аиз формулы (2.16) равна:

(2.17)

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

5. Теорема о свёртке.

Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть и- два сигнала, для которых известны соответствия,.Образуем произведение этих сигналов:и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу:

(2.18)

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.18):

Изменив порядок интегрирования, будем иметь:

откуда:

(2.19)

Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций V и U. Символически операция свёртки обозначается как *

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:

(2.20)

Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:

Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём

и , то сигналявляется свёрткой сигналови, но уже не в частной , а во временной области:

(2.21)

6. Теорема Планшереля

Пусть два сигнала и, в общем случае комплексные , определены своими обратными преобразованиями Фурье:

;

.

Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:

Здесь внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигналапоэтому:

(2.22)

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.