1.3.1. Перетворення Фур’є

Під перетворенням Фур’є, або фур’є-образом будемо розуміти вираз:

;

. (1.3.1)

Під оберненим перетворенням Фур’є, розуміємо вираз:

;

. (1.3.2)

Наведемо деякі приклади Фур’є-перетворення:

Таблиця 1

1.3.2. Деякі властивості перетворення Фур’є

Властивості перетворення Фур’є будемо розглядати для одновимірного випадку.

1.3.2.1. Теорема зсуву

Дамо відповідь на питання – чому дорівнює перетворення Фур’є від функції . За визначенням перетворення Фур’є від такої функції дорівнює:

, або після заміни ;

, або

. (1.3.3)

Із (1.3.3) випливає, що , тобто величина не залежить від .

1.3.2.2. Теорема масштабу

Дамо відповідь на питання – чому дорівнює перетворення Фур’є від функції . За визначенням перетворення Фур’є від такої функції дорівнює:

, або після заміни ,

(1.3.4)

1.3.3. Згортка і кореляція

Згортка і кореляція двох функцій і визначаються виразами

та (1.3.5)

відповідно (1.3.6)

Зауважимо, якщо – дійсні та парні функції, то різниці між згорткою та кореляцією немає. Дійсно, в цьому випадку та .

Величину називають коефіцієнтом кореляції. Якщо , то називають автокореляцією функції . Величина дорівнює максимуму функції автокореляції.

На закінчення цього пункту наведемо важливе співвідношення:

(1.3.7)