17. Передаточная функция

Одной из основных характеристик объекта управления, используемой в теории автоматического управления, является передаточная функция, записываемая в терминах преобразования Лапласа.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается:

(2.9)

Рис. 2.6 Примеры различных объектов:

а — с одним входом и одним выходом; б — двумя входами и одним выходом;

в - двумя входами и двумя выходами

Передаточная функция характеризует динамику объекта только по определенному каналу, связывающему конкретный вход объекта и конкретный выход (рис. 2.6).

Если объект имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями, определить которые можно непосредственно, пользуясь определением (2.9).

Как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику линейного объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраического уравнения найти отношение

В общем случае дифференциальное уравнение объекта представляется в виде

(2.10)

где a_n,…, a₀; b_m, …, b₀ — постоянные коэффициенты.

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях получают:

a_nsⁿy(s) + a_n−1s^n-1(s)+ ... + a₁sy(s) + a₀y(s) = b_ms^mx(s) + b_m−1s^m-1(s)+ ... +b₁sx(s) + b₀x(s), или

(a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + ... + a₁s + a₀) y(s) = (b_ms^m + b_m-1s^m-1 + ... + b₁s + b₀) x(s), и тогда

Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у(s) равно произведению передаточной функции на изображение входа x(s):

y(s) = W(s)x(s). (2.11)

Последняя запись есть не что иное, как общая форма записи решения дифференциального уравнения в операторной форме.

Таким образом, передаточная функция равна отношению двух полиномов:

где B(s) = b_ms^m + b_m-1s^m-1 ... + b₁s + b₀; A(s) = a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + a₁s + a₀ .

Для реальных физических объектов можно отметить как характерную особенность тот факт, что степень полинома В(s) всегда меньше или равна степени полинома A(s), т.е. m ≤ n, так что

Передаточная функция также взаимно однозначно связана с временными характеристиками.

Если имеется выражение для переходной функции, следовательно, входной сигнал x(t) = 1(t) или , выходной сигнал y(t) = h(t) или y(s) = h(s), и тогда передаточная функция равна

(2.12)

Из (2.12) может быть получено выражение для переходной функции через преобразование Лапласа:

(2.13)

Если известно выражение для весовой функции, то входной сигнал x(t) = δ(t) или x(s) = 1, выходной сигнал w(t) и, следовательно,

(2.14)

т.е. передаточная функция есть не что иное, как преобразование Лапласа от весовой функции.