24. Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка называется также инерционным. Оно описывается дифференциальным уравнением первого порядка и имеет не колебательный характер переходного процесса. Примером таких звеньев может служить любая электрическая цепь, включающая сопротивление и емкость, тепловые объекты.

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид

Ty'(t) + y(t) = kx(t), (3.42)

где Т- постоянная времени звена; k— коэффициент усиления, k > 0, T > 0.

Постоянная времени характеризует инерционность.

Передаточную функцию получают из уравнения (3.42)

(3.43)

Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.13:

АФХ (3.44)

АЧХ (3.45)

ФЧХ (3.46)

Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена первого порядка на нулевой частоте равна коэффициенту усиления k, с увеличением частоты она монотонно уменьшается, асимптотически стремясь к нулю.

Рис. 3.13 Частотные характеристики апериодического звена первого порядка:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Фазочастотная характеристика при увеличении частоты от 0 до ∞ изменяется от 0 до Следовательно, годограф АФХ для ω > 0 целиком лежит в четвертом квадранте и представляет собой полуокружность диаметром k с центром в точке которая описывается уравнением

(3.47)

Доказательство последнего тождества аналогично доказательству подобного выражения для реального дифференцирующего звена. Значения действительной и мнимой частей АФХ заменяются их конкретными выражениями

и подставляются в (3.47).

Уравнение переходной функции получают как решение уравнения при x(t) = k(t) или в операторной форме

Переходя к оригиналу, получают выражение переходной функции во временной области

(3.48)

Весовую функцию можно получить как производную от переходной функции

. (3.49)

Графики переходных характеристик изображены на рис. 3.14.

а) б)

Рис. 3.14 Переходные характеристики апериодического звена первого порядка:

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена второго порядка удобно записать в виде

T₁T₂y''(t) + (T₁ + T₂)y′(t) + y(t) = kx(t), (3.57)

где T₁, T₂ — постоянные времени; k— коэффициент усиления; T₁, T₂, k> 0. После преобразования (3.57) по Лапласу

[T₁T₂s² + (T₁ + T₂)s + 1]y(s) = kx(s),

откуда передаточная функция звена равна:

(3.58)

Апериодическое звено второго порядка можно структурно представить в виде последовательного соединения двух звеньев первого порядка с постоянными времени Т₁ и T₂ (рис. 3.19), поэтому оно не относится к числу элементарных. Корни характеристического уравнения действительные.

Частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 3.20:

АФХ (3.59)

АЧХ (3.60)

ФЧХ (3.61)

Рис. 3.19 Структурная схема апериодического звена второго порядка

Рис. 3.20 Частотные характеристики апериодического звена второго порядка:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Для сравнения пунктиром показаны характеристики звена первого порядка. Амплитудно-частотная характеристика при изменении частоты от 0 до ∞ изменяется от k до 0. Фазочастотная характеристика изменяется от 0 до -π. Годограф амплитудно-фазовой характеристики лежит в 4-м и 3-м квадрантах. Сравнивая частотные характеристики звена первого порядка, видно, что добавление второго звена первого порядка увеличивает инерционность объекта, увеличивает модуль и увеличивает отставание по фазе.

Уравнение переходной функции в операторной форме имеет вид

Переходя к оригиналу, получают

(3.62)

Переходная функция представляет собой неколебательную кривую, имеющую одну точку перегиба и асимптотически стремящуюся кy(∞) = k. Уравнение весовой функции:

(3.63)

Графики переходных характеристик изображены на рис. 3.21.

Рис. 3.21 Переходные характеристики апериодического звена второго порядка:

а — переходная функция; б — весовая функция