15. Динамические процессы в системах

Основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления является аппарат дифференциальных уравнений. Круг рассматриваемых объектов был уже определен - это линейные объекты с сосредоточенными координатами. При этом различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени

Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты при расчете систем регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться.

Далее будут рассматриваться линейные стационарные объекты (системы) с сосредоточенными координатами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:

(2.1)

Уравнение (2.1) описывает поведение объекта, который имеет статическую характеристику в неустановившемся (переходном) режиме при любой форме входного сигнала x(t). Частными случаями уравнения (2.1) являются уравнения

(2.2a)

(2.2б)

Для объектов, описываемых уравнением (2.2а), статическая характеристика существует, но является вырожденной, так как b₀= 0. Для объектов же, описываемых уравнением (2.2б), статическая характеристика не существует.

Объекты, имеющие статическую характеристику, называются статическими, а не имеющие статической характеристики, называются астатическими.

В большинстве случаев, как уже отмечалось выше, уравнения систем автоматического регулирования оказываются нелинейными, поэтому, если возможно, проводят линеаризацию этих уравнений при помощи ряда Тейлора путем разложения нелинейных функций некоторых переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установившемуся режиму. В результате получают линеаризованные уравнения в отклонениях. Таким образом, в большинстве случаев дифференциальное уравнение (2.2) является уравнением в отклонениях, которое описывает объект или систему регулирования только в окрестности установившегося режима. Для линейных систем уравнения в отклонениях и исходные уравнения совпадают.

Для получения решения уравнения (2.2) необходимо задать начальные условия, под которыми понимается состояние процесса в момент времени, принятом за его начало t = 0:

(2.3)

Общее решение уравнения (2.2) представляется в виде:

(2.4)

В выражении (2.4) y_св(t) является общим решением соответствующего однородного уравнения и у_вын(t) - частное решение неоднородного уравнения (2.2). Следовательно, y_св(t) соответствует движению системы в отсутствии входного сигнала x(t) ≡ 0, т.е. собственному свободному движению системы, и определяется свойствами самой системы, которые проявляются в свойствах корней характеристического уравнения. Если эти корни различны, то

(2.5)

где λ_i - корни характеристического уравнения; с_i - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Частное решение у_вын(t) зависит от вида функции x(t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению (состоянию) системы.

Решение (2.4) уравнения (2.2) определяет динамический процесс в системе, происходящий с момента подачи входного воздействия, который принят за начало отсчета времени, поэтому движение системы (переходной процесс) рассматривается только при t ≥ 0, для t < 0 он принят тождественно равным нулю.

Выходной сигнал y(t), получающийся в течение такого процесса, является наиболее полной характеристикой динамических свойств системы, поэтому определение этого сигнала, как уже отмечалось, и является основной задачей теории регулирования. Здесь становится актуальной идея изучения динамических свойств системы с помощью временных характеристик.