16. Переходная и весовая функции

Переходная функция

Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используется единичная функция времени (1.10). Такого рода воздействию соответствует, например, сброс или включение нагрузки в системах регулирования (отказ мотора в системе регулирования).

Рис. 2.4 Переходная характеристика:

а - ступенчатое воздействие; б - кривая разгона

Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения (2.2) при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях, т.е.

(2.6)

Кривой разгона называется реакция объекта (системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза систем автоматического управления исследуемом объектом. Здесь следует ввести понятия прямой и обратной задач. Прямая задача (задача Коши) заключается в определении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. В обратной задаче требуется восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по известной интегральной кривой, например, переходной функции. Если предположить, что переходная функция описывается решением уравнения первого порядка

где , то определению подлежат k - коэффициент усиления и Т - постоянная времени.

В статике у'(t) = 0 и, следовательно, у(∞) = k x(∞), откуда коэффициент усиления так как x(∞) = 1; y(∞) = h(∞), то k = h(∞).

Для определения постоянной времени Т исходное уравнение интегрируется в пределах от 0 до ∞:

Правая часть последнего выражения есть не что иное, как площадь S под экспериментально снятой с кривой разгона (рис. 2.4б), тогда можно записать: Th(∞) = S, откуда

Весовая функция

Для получения весовой функции, ее также называют импульсной переходной функцией, в качестве стандартного сигнала используется δ-функция (1.11):

Таким образом, весовой функцией w(t) называется реакция системы на δ-функцию при нулевых начальных условиях.

На практике весовую функцию в отдельных случаях можно получить экспериментальным путем весьма приближенно (рис. 2.5). Считают, что на вход объекта подана δ-функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса.

Подаваемый на вход импульс представляет собой приближенную дельта-функцию, так как его площадь отлична от единицы и равна S. Поэтому для получения весовой функции экспериментально снятый переходный процесс нормируют путем деления его ординат на величину площади входного воздействия S.

Рис. 2.5 Переходная характеристика:

а - δ-функция; б - весовая функция

Между временными характеристиками: переходной и весовой функциями существует взаимное однозначное соответствие, которое определяется следующим образом:

Весовую функцию можно получить и как решение дифференциального уравнения