18. Комплексное переменное

Элементы теории функции комплексного переменного.

Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z = a + ib, где а и b — соответственно действительная и мнимая части числа. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. На комплексной плоскости, в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая часть), комплексное число геометрически представляется вектором (рис. 4.1); оно может быть изображено также в полярных координатах М (модуль) и φ (фаза) и записано в показательной форме: где М- длина вектора, соединяющего начало координат с точкой z; φ - угол между положительной ветвью действительной оси и вектором z, причем положительным направлением считается направление отсчета против часовой стрелки.

Третья форма записи комплексного числа - тригонометрическая, так как

Все составляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями:

При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z. Ниже приводятся формулы, по которым вычисление фазы φ сводится к определению острого угла, равного (рис. 2.7)

I квадрант:

II квадрант:

III квадрант: ;

IV квадрант:

Рис. 2.7 Определение фазы в зависимости от расположения

Для упрощения операций над комплексными числами полезно знать, что

Над комплексными числами проводят те же арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), что и над действительными. Сложение и вычитание более удобно проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

z₃ = z₁ ± z₂ = (a₁ ± ib₁) ± (a₂ ± ib₂) = (a₁ ± a₂) ± i(b₂ ± b₁),

а умножение и деление над числами, записанными в показательной форме:

Если аргумент функции - комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Например, функция W(s), s = α + iω.

Таким образом, можно сказать, что функцией комплексного переменного называется некоторый оператор (правило), согласно которому точке одной плоскости комплексного переменного ставится в соответствие точка другой плоскости комплексного переменного (рис. 2.8).

Рис. 2.8 К определению функции комплексной переменной