logo
Шпоры на Автоматизацию123

22. Идеальное дифференцирующее звено

Уравнение идеального дифференцирующего звена

y(t) = kx′(t), (3.15)

т.е. изменение выходной координаты пропорционально скорости изменения входной координаты. В операторной форме уравнение имеет вид откуда передаточная функция

(3.16)

Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.5:

АФХ W(iω) = kωi = keiπ/2; (3.17)

АЧХ M(ω) = kω; (3.18)

ФЧХ φ(ω) = π/2. (3.19)

Рис. 3.5 Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Таким образом, АЧХ прямо пропорциональна частоте, а ФЧХ не зависит от частоты и равна π/2. Следовательно, годограф АФХ при φ > 0 совпадает с положительной ветвью мнимой оси. Переходная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:

h(t) = k1'(t) = kδ(t), (3.20)

т.е. представляет собой δ-функцию с площадью, равной k.

Весовая функция представляет собой производную от δ-функции

w(t) = kδ'(t). (3.21)

В природе идеально дифференцирующих звеньев не существует, так как при ω→ ∞ M(ω) → ∞, а любой реальный объект практически фильтрует гармонические сигналы с частотой, большей частоты среза данного объекта. Неосуществимость идеального звена видна также и из переходной функции, которая равна δ-функции и из весовой функции, равной производной δ-функции.

Реальное дифференцирующее звено

Встречаются звенья, которые реагируют только на скорость изменения входного сигнала. Они описываются уравнениями следующего вида и называются реальными дифференцирующими:

Ty(t) + y(t) = Tдx(t). (3.22)

Примером такого звена является RC-цепочка (рис. 3.6).

Рис. 3.6 RC-цепочка

Передаточная функция имеет вид:

(3.22)

Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.7.

Рис. 3.7 Частотные характеристики реального дифференцирующего звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

АФХ (3.23)

АЧХ (3.24)

ФЧХ (3.25)

У реального дифференцирующего звена при увеличении частоты амплитудно-частотная характеристика возрастает, но ее верхний предел ограничен величиной

Фазочастотная характеристика при увеличении частоты уменьшается от до нуля. Для положительных частот W(iω) представляет собой полуокружность диаметром с центром в точке . Для доказательства запишем W(iω) в прямоугольных координатах

Полученные значения Rе(ω) и Im(ω) подставим в уравнение окружности радиуса с центром в точке :

или

Раскрывая скобки, получаем тождество, которое и доказывает, что АФХ действительно представляет собой полуокружность.

Используя взаимосвязь динамических характеристик, получаем уравнение переходной функции в операторной форме:

Применив обратное преобразование Лапласа к последнему выражению, получаем уравнение переходной функции во временной области:

(3.26)

Весовая функция находится как производная от переходной функции

(3.27)

Графики переходных характеристик изображены на рис. 3.8.

а)

Рис. 3.8 Переходные характеристики реального дифференцирующего звена:

а — переходная функция; б — весовая функция

На рис. 3.8а для сравнения показаны переходные функции идеального 1 и реального 2 дифференцирующих звеньев. В силу инерции реальных звеньев изменение выходной координаты - переходной функции происходит постепенно, а не скачком, как в случае идеального звена. Для того, чтобы приблизить свойства реального звена к свойствам идеального, необходимо одновременно увеличивать коэффициенты передачи Тд и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение ТдТ оставалось постоянным.