13. Определение линейной стационарной системы. Принцип суперпозиции

К линейным системам обычно относят те системы, в которых протекающие процессы являются стационарными и описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными или функционально зависящими от времени коэффициентами. Важным свойством таких систем является их соответствие принципу суперпозиции. В связи с этим определение линейной системы, как правило, дается в следующем варианте: линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов ∑x_i(t) равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любых x_i(t).

Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений:

(1.20)

y(cx(t)) = cy(x(t)). (1.21)

Линейность статических характеристик является необходимым, но не достаточным условием линейности, так как выполнение принципа суперпозиции необходимо не только в статике, но и в динамике.

Так как большинство объектов управления являются нелинейными, то при определенных условиях нелинейные характеристики могут быть приближенно заменены линейными характеристиками, т.е. производится линеаризация нелинейных зависимостей.

Рис. 1.16 Иллюстрация эксперимента по проверке объекта

Рис. 1.17 Линеаризация нелинейной статической характеристики

Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и исключение нелинейных членов разложения.

Пусть статическая характеристика описывается нелинейной n раз дифференцируемой, где n — любое натуральное число, функцией у = f(x), которую необходимо линеаризовать в окрестности точки (x₀, y₀) (рис. 1.17).

Если при максимально возможных отклонениях у и x от x₀ и у₀ f(x) мало отличается от линейной функции, то можно заменить f(x) ее приближением , определяемым с помощью ряда Тейлора:

В новой системе координат, получим линеаризованное уравнение объекта