36. Устойчивость линейных систем

Устойчивость систем связана со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних возмущений, которые вывели ее из этого состояния. С позиции устойчивости различают три типа систем:

1) устойчивые − системы, которые после снятия возмущений возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные − системы, которые после снятия возмущения возвращаются в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые − системы, в которых не устанавливается равновесие после снятия возмущений.

Данные системы представлены на рис. 12.1. Положение равновесия шара характеризуется точкой A₀. При отклонении в положение A₁ в первом случае шар стремится к положению А₀ во втором не стремится к этому положению, в третьем − состояние шара безразлично.

Примером устойчивых систем могут служить все типовые звенья, кроме интегрирующего звена.

Рис. 12.1 Иллюстрация понятия устойчивости:

а) устойчивая система; б) неустойчивая система; в) нейтральная система

На рис. 12.1а границы области устойчивости не определены. Рассмотрим полуустойчивые системы с заданными границами (рис. 12.2).

Рис. 12.2. Полуустойчивые состояния равновесия

Состояние равновесия (рис. 12.2а) устойчиво лишь до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую границу, определяемую точкой B. Принципиально возможное состояние равновесия, называемое полуустойчивым (рис. 12.2б), характерно для нелинейных систем.

Для нелинейных систем вводят понятия устойчивости «в малом», «в большом» и «в целом»:

− система устойчива «в малом», если лишь констатируется факт наличия области устойчивости, но границы ее не определены;

− система устойчива «в большом», когда определены границы области устойчивости, то есть определены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние;

− система, которая возвращается в исходное состояние при любых начальных отклонениях, называется устойчивой «в целом» или абсолютно устойчивой.

Случай, изображенный на рис. 12.1а, соответствует устойчивости «в целом», на рис. 12.2а – «в большом» или «в малом». Часто не всегда ясно, при каких условиях равновесное состояние системы будет устойчиво.

Регулируемая величина y(t) является решением уравнения (5.3):

y(t) = y_св(t) + y_вын(t). (12.1)

При рассмотрении вопросов устойчивости интерес вызывает свободная составляющая, определяемая решением уравнения (5.3) без правой части. Это решение отлично от нуля только в течение переходного процесса. Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (5.3), на устойчивость системы не влияет.

Математически понятие «устойчивость» формулируется следующим образом. Система является устойчивой, если свободная составляющая переходного процесса с течением времени стремится к нулю, то есть

y_св(t)  0 при t  . (12.2)

При этом выходная координата системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью уравнения (5.3). Если свободная составляющая неограниченно возрастает, то есть y_св(t)   при t  , то система неустойчива.