25. Инерционно-форсирующее звено

Инерционно-форсирующее звено называют также интегро-дифференцирующим или упругим звеном, описывается оно дифференциальным уравнением первого порядка

Ty'(t) + y(t) = k[T₀x'(t) + x(t)]. (3.50)

Существенным параметром звена является коэффициент Если τ < 1, то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям, если же τ > 1, то звено ближе к дифференцирующим звеньям. Передаточная функция звена:

(3.51)

Частотные характеристики получают в результате замены s = iω:

АФХ (3.52)

АЧХ (3.53)

ФЧХ (3.54)

Графики частотных характеристик для τ > 1 и τ < 1 изображены соответственно на рис. 3.15 и 3.16.

Рис. 3.15 Частотные характеристики инерционно-форсирующего звена для τ > 1:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Рис. 3.16 Частотные характеристики инерционно-форсирующего звена для τ < 1:

а -АЧХ;б-ФЧХ;в-АФХ

Используя взаимосвязь динамических характеристик, записываются уравнения переходной и весовой функций, соответственно

(3.55)

(3.56)

их графики для τ > 1 и τ < 1 изображены на рис. 3.17. и 3.18.

Рис. 3.17 Переходные характеристики инерционно-форсирующего звена для τ> 1:

а - переходная функция; б - весовая функция

Рис. 3.18 Переходные характеристики инерционно-форсирующего звена для τ< 1:

а — переходная функция; б — весовая функция

Колебательное звено

Колебательное звено, как и апериодическое, является звеном второго порядка и описывается дифференциальным уравнением второго порядка, которое удобно записать в виде

(3.64)

Характеристическое уравнение колебательного звена

должно иметь пару комплексно сопряженных корней, а это будет только в том случае, если < 2. Если же > 2, то корни уравнения -действительные и звено будет апериодическим второго порядка.

Характеристики колебательного звена имеют вид:

передаточная функция (3.65)

частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 3.22:

АФХ (3.66)

АЧХ (3.67)

ФЧХ (3.68)

Рис. 3.22 Частотные характеристики колебательного звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Анализ амплитудно-частотной характеристики показывает, что при малых значениях частоты, когда ω⁴ << ω², наблюдается некоторое увеличение АЧХ по сравнению с апериодическим звеном, причем при больших значениях на графике АЧХ появляется максимум. В пределе при T_д = 0 АЧХ терпит разрыв второго рода при значении

Переходная функция в операторной форме:

Взяв обратное преобразование Лапласа, получают

(3.69)

где

w(t) = −Aαe^−αtsin(ωt − β) + Aωe^−αtcos(ωt − β) = Ae^−αt(cos(ωt − β) − αsin(ωt − β)). (3.70)

Графики переходных функций изображены на рис. 3.23.

Примером колебательного звена могут служить упругая механическая система с существенным влиянием массы, центробежный маятник регулятора частоты вращения вала машины без демпфера и другие.

Рис. 3.23 Переходные характеристики колебательного звена:

а - переходная функция; б - весовая функция

Частным случаем колебательного звена является консервативное звено, когда характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. В этом случае передаточная функция звена преобразуется к виду

(3.71)

Частотные характеристики представлены на рис. 3.24.

Рис. 3.24 Частотные характеристики консервативного звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в -АФХ

АФХ (3.72)

АЧХ (3.73)

ФЧХ (3.74)

Временные характеристики представляют собой гармонические колебания (рис. 3.25). Частота называется резонансной частотой:

переходная функция (3.75)

весовая функция . (3.76)

Рис. 3.25 Функции консервативного звена:

а - переходная; б - весовая