2.3. Передаточная функция

Решение дифференциального уравнения (2.2) можно получить не только классическим методом, но также с использованием операционного исчисления, в основе которого лежит преобразование (интеграл) Лапласа.

Преобразование Лапласа представляет собой преобразование некоторой функции вещественной переменной в другую функцию комплексной переменной , осуществляемое путем интегрирования

,

где исходная функцияназывается оригиналом, а результат преобразования – изображением, – оператор Лапласа.

Существует соответствие между операциями с оригиналами и с изображениями. Так, -кратному дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на , а -кратному интегрированию оригинала в пределах от 0 до соответствует деление изображения на .

Функция-оригинал обладает следующими свойствами:

• определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой оси;

• при ;

• существует такое положительное число , при котором.

Для определения функции-оригинала по известному изображению применяют формулу обратного преобразования Лапласа

Максимальная величина , при которой выполняется это неравенство, называется абсциссой абсолютной сходимости. В АСУ мы обычно имеем дело с функциями, для которых перечисленные выше условия выполняются.

Выражения изображений Лапласа для некоторых элементарных функций приведены в табл.2.1. Более полные таблицы даны в справочной литературе.

Таблица 2.1

Изображения некоторых элементарных функций

Передаточной функцией (в форме изображений Лапласа) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях

.(2.5)

Введём для операции дифференцирования обозначение , т.е. .

В операторной форме уравнение (2.2) имеет вид

(2.6)

где – оператор дифференцирования.

Передаточной функцией системы в операторной форме называют отношение

(2.7)

Передаточная функция определяет динамические характеристики системы или отдельных её элементов.

Итак, передаточная функция в форме изображений по Лапласу

,

где, – полиномы числителя и знаменателя, характеризует систему в области изображений по Лапласу (рис. 2.12).

Рис.2.12. Модель системы (звена) в области изображений по Лапласу

Для линейных систем при нулевых начальных условиях нет необходимости переходить в область изображений, а систему (звено) можно представить блоком

,

как показано на рис. 2.13, и считать, что этот блок осуществляет те же действия, что предусматриваются дифференциальным уравнением (2.6), записанным в операторной форме

,

т. е. – операторное звено во временной области.

Рис.2.13. Модель системы (звена) в операторной форме

Отметим, что (2.7) можно представить в виде отношения полиномов со свободными членами, равными единице

,

где – коэффициент передачи;

;

.

Свободные члены могут равняться и нулю, если, например, в системе имеется интегрирующее звено.

Итак, для стационарных линейных звеньев (систем) при нулевых начальных условиях формально можно сделать подстановку , так как в этом случае дифференцированию оригинала – символическому умножению оригинала на – соответствует умножение изображения на комплексное число .

Все свойства преобразования Лапласа применимы для операторной формы записи дифференциальных уравнений линейных стационарных систем при нулевых начальных условиях, т.е. можно для таких систем считать и тогда выражения (2.5) и (2.7) эквивалентны.

В знаменателе передаточной функции (2.7) записано выражение, аналогичное левой части характеристического уравнения. Поэтому можно считать, что знаменатель передаточной функции есть характеристический полином дифференциального уравнения

Корни характеристического уравнения , будучи подставленными в (2.7), обращают передаточную функцию в бесконечность и называются полюсами передаточной функции. Корни уравнения при подстановке в (2.7) обратят передаточную функцию в нуль и называются нулями передаточной функции.