2.2. Общие сведения о статических и динамических характеристиках асу и ее звеньев

Уравнения, описывающие поведение звеньев системы автоматического управления, составляются на основе тех физических законов, которые характеризуют их поведение. Это могут быть законы механики, электротехники, теплотехники, оптики и т. д.

Уравнения, описывающие поведение звеньев, могут быть алгебраическими, дифференциальными и интегральными. Однако, как правило, это дифференциальные уравнения.

Статическая характеристика звена представляет собой зависимость между входной и выходной величинами в установившемся режиме.

Часто статические характеристики определяют экспериментально. Изменяя дискретно входной сигнал , фиксируют соответствующие установившиеся значения выходного сигнала, а затем по этим значениям строят зависимость , которая и является статической характеристикой звена (рис. 2.2).

Интервал времени надо выбирать так, чтобы за этот промежуток звено приходило в состояние равновесия.

В общем случае зависимость установившегося значения выходной величины от установившегося значения входной величины является нелинейной. Если зависимость выражается линейной функцией вида

,

то характеристику и элемент (звено) называют линейным (рис. 2.3). Здесь – коэффициент передачи, имеющий размерность [ед.выхода/ед.входа]. Все характеристики другого вида являются нелинейными.

Некоторые виды нелинейных характеристик могут быть с определенной точностью заменены линейными. Такую замену называют линеаризацией. Например, для характеристики, приведенной на рис. 2.4, в окрестности точки А получим линейную зависимость (не в абсолютных значениях, а в отклонениях от и ). Она тем точнее, чем меньше и.

Рис. 2.2. Экспериментальное определение статической характеристики

Рис. 2.3. Одна из возможных характеристик линейного звена

Рис. 2.4. К понятию линеаризации

При изменении режима работы (например, переходе в точку В) величина коэффициента изменится. Такая линеаризация по существу является разложением в ряд Тейлора зависимости в окрестности точки с отбрасыванием членов второго и выше порядка малости.

Этот ряд применим к гладким функциям, имеющим в окрестности точки производные до 2-го порядка включительно.

Статические характеристики звена (системы) описывают лишь поведение звена (системы) в установившемся режиме. Если на вход находящегося в некотором состоянии звена, поступит какой – либо сигнал, то оно начнет переходить в некоторое другое состояние.

Характер процесса перехода системы или звена системы из одного состояния в другое определяется динамической характеристикой звена (уравнением движения). Уравнение движения звена — это уравнение (обычно дифференциальное), определяющее изменение во времени выходной величины звена по заданному изменению во времени его входной величины.

В линейной АСР, а также в ее элементах связь между входной и выходной величинами описывается дифференциальными уравнениями вида

, (2.1)

где — параметры системы (звена).

Уравнение (2.1) для простоты можно записать в виде

. (2.2)

Решение (2.2) находится как сумма двух составляющих - свободной и вынужденной: .

Свободная составляющая является общим решением однородного дифференциального уравнения

и определяется как

,

где — постоянная интегрирования, — корень характеристического уравнения

. (2.3)

Каждая пара сопряженных комплексных корней уравнения (2.3) в составе решения уравнения (2.2) дает свою составляющую вида

. (2.4)

Значения и определяются из начальных условий.

При исследовании поведения системы (элемента) под влиянием входной величины понимают, что возмущение наносится в момент времени =0, а начальные условия определяют состояние системы при <0.

Вынужденная составляющая является частным решением (2.2) и определяется входной величиной. В результате получают переходную функцию, описывающую изменение выходной величины во времени после приложения .

Различают временные и частотные характеристики.

Одной из динамических характеристик является переходная функ­ция - реакция системы (или ее элемента) на единичный скачкообразный сигнал

Решая уравнение (2.2) относительно при условии подачи на вход сигнала , получают переходную функцию, которую принято обозначать (в отличие от «кривой разгона» ,которую получают при действии на входе скачка произвольной величины). График переходной функции и есть переходная характеристика.

Пусть, например, требуется получить переходную характеристику (или кривую разгона) двигателя постоянного тока независимого возбуждения. Для этого его включают по схеме (рис. 2.5,а), где ИП – источник питания, К – ключ, Д – двигатель с обмоткой возбуждения ОВ. Входом двигателя является напряжение, поступающее на якорь , выходом - частота вращения , а нагрузкой – момент сопротивления . Модель приведена на рис 2.5,б. Замкнув ключ К, подают на вход скачкообразный сигнал . Двигатель не может мгновенно (скачкообразно набрать скорость от до . Это физически невозможно, так как скорость нарастания частоты вращения (ускорение двигателя) должна быть при этом бесконечно большой. Частота вращения будет изменяться достаточно плавно по определенному закону, зависящему от параметров двигателя: монотонному (рис. 2.5,в, кривая 1) или колебательный (рис. 2.5,в, кривая 2).

Таким образом, задавая единичный скачок на входы элементов (систем) с различными параметрами, можно по реакции (выходу) судить о динамических свойствах этих элементов (систем). По экспериментально полученной переходной характеристике можно идентифицировать элемент, то есть получить его математическую модель. Это бывает часто необходимым при разработке АСУ для объектов, математическое описание которых аналитически получить затруднительно.

Рис. 2.5. Получение переходной характеристики двигателя

постоянного тока: а) – схема включения; б) – модель;

в) – возможные переходные характеристики

Другой временной функцией является импульсная переходная, или весовая функция, которая описывает реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие. Обозначают эту функцию , а ее график называют импульсной переходной функцией. Физически единичный импульс можно представить как очень узкий импульс единичной площади. Математически он описывается функцией Дирака , которую называют также дельта-функцией

причем .

Дельта-функция это такое воздействие, которое равно нулю при , а при обращается в бесконечность, а его площадь при этом равна единице.

Очевидно, что , так же как и , является некоторой математической абстракцией реально существующих сигналов. Практическим приближением можно считать единичную импульсную функцию (рис. 2.6), имеющую площадь и малую продолжительность импульса

В пределе при единичная импульсная функция превращается

в - функцию.

Реакцию на -функцию называют также весовой функцией.

Для линейных АСУ справедливо: реакция на производную входа равна производной реакции на это воздействие. Так как -функцию можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции, т.е. , то .

При исследовании АСУ используют входные сигналы и другого вида, которые рассмотрим далее.

Рис. 2.6. Единичная импульсная функция

Перейдем к частотным характеристикам.

Частотные характеристики получают при рассмотрении вынужденных движений звена (системы), вызванных гармоническим воздействием на входе , где – амплитуда; – угловая частота входных колебаний с периодом . Если , то входное воздей­ствие – единичное гармоническое. По окончании переходного процесса на выходе линейной системы устанавливаются гармонические колебания той же частоты, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний на угол .

Изменение амплитуды и фазовый сдвиг являются функциями частоты и выражают динамические свойства элемента (системы). Если изменять частоту от 0 до ∞ и определять установившиеся амплитуду и фазу выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость соотношения амплитуд и сдвига фазы от частоты. называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Проведение такого исследования можно представить так (рис. 2.8): в трубопровод подачи топлива вмонтирована дроссельная заслонка (регулирующий орган РО), которую можно открывать и закрывать с определенной частотой при помощи специального механизма М. При этом формой заслонки можно обеспечить синусоидальное изменение расхода ∆F топлива, измеряемого датчиком расхода ДР и являющегося входной величиной . Если измерять отклонение температуры в печи ∆θ (выходной сигнал ) с помощью датчика температуры ДТ, то увидим, что в установившемся режиме она будет изменяться с той же частотой, а максимумы и минимумы расхода и температуры по фазам будут сдвинуты ( см. рис. 2.7).

Для каждой частоты входного сигнала будут получены определенные амплитуда и фазовый сдвиг (рис. 2.9). Этот результат можно изобразить графически двумя способами

Рис. 2.7. Реакция звена (системы) на синусоидальное воздействие

Рис. 2.8. Схема экспериментального определения частотных

характеристик нагревательной печи

Рис. 2.9.Установившиеся значения выходного сигнала при различных значениях частоты входного синусоидального сигнала

Изобразив зависимость отношения амплитуд от частоты, взятой в обычном или логарифмическом масштабе, получим АЧХ (рис. 2.10,а). Изобразив таким же образом зависимость фазового сдвига от частоты, получим ФЧХ (рис. 2.10,б).

Рис. 2.10. Частотные характеристики: АЧХ (а) и ФЧХ (б)

На рис. 2.11 показано построение совмещенной амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). При этом на луче, выходящем из начала координат под углом, откладывается . На такой характеристике частота в явном виде отсутствует. Однако, каждой точке на кривой соответствует определенная частота.

Рис. 2.11. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)