Гармоническое колебание

Одним из наиболее часто используемых типов детерминированных периодических сигналов является гармоническое колебание. Это обусловлено несколькими факторами. Во-первых, гармоническое колебание наиболее просто технически воспроизвести; во-вторых, только гармонический сигнал, проходя через линейные цепи, сохраняет свою форму; в-третьих, большинство используемых в радиоэлектронике сигналов с помощью аппарата Фурье может быть представлено суммой гармонических составляющих.

Гармоническое колебание аналитически можно записать как функцию косинуса или синуса. Чаще применяют функцию косинуса:

где A_m - амплитуда, ₀ - частота, ₀ - начальная фаза. Величина ( ₀ t₀ )= (t) определяет полную фазу. Частота и период гармонического сигнала связаны соотношениями:

где ₀ - циклическая частота, ее размерность радианы/сек, f ₀ -частота, число колебаний за секунду, ее выражают в герцах (Гц, Hz); 10³ Гц = 1 кГц (килогерц), 10⁶ Гц = 1 МГц (мегагерц), 10⁹ Гц=1 ГГц (гигагерц). Гармоническое колебание полностью характеризуется тремя параметрами: частотой (или периодом), амплитудой и фазой.

Функция s(t) определяет гармонический сигнал на временной плоскости (рис.1).

Рис. 1

Если в качестве оси абсцисс выбрать частоту, а оси ординат - амплитуду и фазу то можно получить представление гармонического сигнала на частотной плоскости, причем для удобства графики амплитуда - частота и фаза - частота рисуют отдельно (см. рис. 2).

Рис. 2

В соответствии с формулами Эйлера действительный гармонический сигнал можно записать в виде

.

Сигнал вида будем называть комплексным. В соответствии с теорией комплексных функций можно записать

и для любого момента времени можно построить на комплексной плоскости вектор функции (рис.3), который называют векторной диаграммой.

Рис. 3

Вектор вращается с угловой скоростью  . На рисунке показаны положения вектора в моменты времени t=0 и t₁ 0. При t=2 вектор попадает в положение t=0. Поэтому обычно векторную диаграмму представляют для t=0, а вращение вектора обозначают скоростью вращения (см. рис. 4 ), сам же вектор отображают комплексным числом , называемым комплексной амплитудой ,т.е.

где точка над амплитудой отражает комплексный характер этой величины.

Рис. 4

Действительная часть функции есть проекция на действительную ось, т. е.

Если действительный гармонический сигнал представить в виде суммы комплексных по формуле Эйлера, то для построения его комплексно-сопряженной части на частотной плоскости придется использовать и область отрицательных частот. Это показано на рис.5.

Рис. 5

Использование понятия комплексной амплитуды гармонического сигнала значительно упрощает расчет электрических цепей. Метод, основанный на использовании этого понятия, называется методом комплексных амплитуд.

Покажем, что линейные преобразования гармонического сигнала легко свести к тем же преобразованиям комплексных амплитуд.

Пусть имеем сумму гармонических колебаний с одинаковой частотой:

.

Известно, что сумма гармонических функций одной частоты есть также гармоническая функция этой частоты, амплитуда которой равна

Пользуясь же понятиями комплексных амплитуд и векторным представлением имеем (рис.6):

Рис. 6

Таким образом, линейная комбинация нескольких гармонических сигналов с одной и той же частотой есть гармоническое колебание с той же частотой, комплексная амплитуда которого соответствует этой линейной комбинации.

Покажем, как меняется комплексная амплитуда при таких операциях как дифференцирование и интегрирование.

Пусть .

Тогда

;

откуда видим, что , т.е. дифференцирование гармонической функции соответствует умножению ее комплексной амплитуды на величину .

При интегрировании имеем

т.е. интегрирование гармонической функции эквивалентно делению комплексной амплитуды на частоту и повороту фазы на , т.е.

На векторных диаграммах операция дифференцирования соответствует повороту фазы на +90⁰, а интегрирования - повороту на -90⁰ относительно исходного вектора.

Задачи

Задача 2.1

Импульсный сигнал u(t), имеющий размерность напряжения, описывается формулой :

Постройте график импульса. Определите максимальное значение сигнала U_max и соответствующее ему t_max.  Вычислите длительность импульса  , определив её как длину отрезка времени от нуля до той точки, в которой мгновенное значение сигнала уменьшается в 10 раз по сравнению с U_max.

Задача 2.2

Представить напряжение вида   на временной и частотной плоскостях. Построить векторную диаграмму . Записать комплексную амплитуду.

Задача 2.3

Гармонический ток задан комплексной амплитудой: и частотой  f = 1МГц Построить его график на временной и частотной плоскостях, а также векторную диаграмму.