Широкополосный случайный процесс. Белый шум

Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире полосы пропускания цепи, через которую проходит данный сигнал.

Если случайный процесс обладает равномерным энергетическим спектром в бесконечно широкой полосе частот то такой шум называют белым по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр. На рис.1 показана спектральная характеристика белого шума, где W_x(f) = W_{0 .}

       Рис. 1

Безусловно, такое представление случайного сигнала является идеализацией, т. к. дисперсия его должна иметь значение, равное бесконечности (см. равенство (2)). В то же время такая идеализация вполне применима, когда АЧХ исследуемой цепи дает возможность считать спектральную плотность на входе приближенно постоянной.

Использование понятия белого шума позволяет находить все необходимые характеристики случайного процесса на выходе радиосистемы только через собственные параметры радиоцепей, входящих в ее состав.

Законы распределения плотности вероятности белого шума могут быть любыми и часто их удобно считать нормальными.

К белому шуму обычно относят сигналы, имеющие игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами. Шум, имеющий равномерную плотность мощности в полосе частот (-f₁,f₁), также называется широкополосным.

Примеры случайных процессов

1. Гармоническое колебание со случайной амплитудой

Пусть

где и -постоянные величины; -случайная величина, имеющая равномерную плотность вероятности в интервале от 0 до (рис.3)

Рис. 3

В момент времени мгновенное значение сигнала может быть любым в интервале от 0 до Поэтому

График имеет вид рис.4.

Рис. 4

Математическое ожидание

Соответствующие вычисления интегралов дают

Как видно из приведенных соотношений, первые два момента случайного процесса зависят от времени, следовательно этот процесс нестационарный, и, следовательно, неэргодический.

2. Гармоническое колебание со случайной фазой.

где - случайная величина, равновероятная в пределах . Плотность вероятности такого случайного процесса равна

Одна из реализаций имеет вид

где -полная фаза. - также случайная величина, плотность вероятности которой имеет тот же вид

Определим вероятность того, что в промежутке времени от до мгновенное значение сигнала окажется в интервале (рис.5):

Рис. 5

Эта вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы в интервалы на периоде, которая в свою очередь равна

Таким образом,

откуда

Так как

имеем

График этой функции имеет вид, показанный на рис.6.

Рис. 6

Так как плотность вероятности не зависит от , то этот процесс является стационарным с математическим ожиданием

причем ту же величину можно получить путем усреднения по времени одной реализации:

что указывает на эргодичность процесса. Корреляционная функция этого процесса равна

где . Она также не зависит от положения и .

3) Нормальный (гауссовский) случайный процесс.

Такой случайный процесс характерен для помех канала связи. Одномерная плотность вероятности стационарного эргодического нормального случайного процесса определяется выражением

Чем больше , тем меньше максимум, кривая (рис. 7) более полога,

Рис. 7

причем всегда т.е. площадь под кривой равна 1 для любых .

Широкое распространение нормального закона распределения обьясняется тем, что при сложении большого числа независимых случайных слагаемых распределение суммы близко к гаусовскому при любом законе распределения отдельных слагаемых (центральная предельная теорема). Для гаусовского случайного процесса с нулевым средним вероятность того, что модули значений случайной величины превысят

величину 3 составляет , т.е. полный размах такого случайного процесса не превышает 6 . Отношение максимумов отклонения случайной величины (пиков) к называют пик-фактором случайного сигнала. Для гаусовского шума он равен 3,а для гармонического сигнала со случайной фазой .

Знание не дает полного представления о поведении случайного сигнала во времени. Медленно меняющаяся и быстро меняющиеся случайные функции могут иметь одинаковые плотности вероятности, что отражено на рис. 8.

а)                                                                  б)

Рис. 8

Для оценки этих свойств используют корреляционные функции. Для случая, показанного на рис.8,а а для рис.8,б