Обоснование частотного метода

Пусть имеется линейный четырехполюсник, на входе которого действует периодический сигнал u_вх (t) произвольной формы с периодом T. Сам четырехполюсник (рис.1) имеет частотную передаточную характеристику

Рис. 1

Требуется с помощью частотного метода определить сигнал на выходе четырехполюсника u_вых (t).

Прежде всего определим спектр входного сигнала: где - коэффициенты ряда Фурье,  ₁=2 /T:

При этом

Каждая составляющая входного сигнала на частоте n₁ имеет вид:

При прохождении через линейную цепь амплитуда и фаза этой составляющей изменяется в соответствии с модулем и фазой частотной передаточной характеристики на этой частоте, т.е.

Произведение коэффициента ряда Фурье входного сигнала на значение частотной передаточной характеристики определяет коэффициенты ряда Фурье для выходного сигнала, т.е.

Этот переход от спектра входного сигнала к спектру выходного справедлив для всех составляющих входного сигнала; таким образом, можно записать

где амплитуда каждой составляющей на выходе определяется произведением модулей амплитуды данной составляющей входного сигнала и АЧХ цепи на частоте составляющей, а фаза равна сумме фазы входной составляющей и ФЧХ на ее частоте.

Пусть на входе действует непериодический сигнал. Тогда сначала определяется его спектральная плотность

Сам сигнал определяется формулой обратного преобразования Фурье:

Из спектральной плотности выделим составляющую на частоте  с амплитудой При прохождении через четырехполюсник составляющая на данной частоте будет иметь амплитуду

После суммирования (интегрирования) по всем составляющим получим

Здесь произведение определяет спектральную плотность выходного сигнала, т.е.

Взятие обратного преобразования Фурье от спектральной плотности выходного сигнала позволяет определить вид временной функции выходного сигнала