Примеры. Одиночный прямоугольный импульс. Экспоненциальный импульс. Гауссов импульс

Пусть дан прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью  . На оси времени он задан положением середины импульса t₀ (рис.3).

Рис. 3

Тогда аналитически сигнал можно описать следующим образом.

Определим выражение для спектральной плотности.

Если это выражение разделить на Т и подставить вместо  частоту n ₁ , то получим уже известное выражение для АЧС последовательности прямоугольных импульсов:

Нули модуля спектральной плотности расположены на частотах  =2 k/ , где k= 1, 2,... На частоте  =0 спектральная плотность равна S( 0 )=A .

На рис.4 изображены графики АЧХ и ФЧХ прямоугольного импульса с учетом знака синуса.

Рис. 4

Полная энергия импульса равна

Энергия сигнала, ограниченного первым лепестком спектральной плотности, составляет 90% мощности прямоугольного импульса.

Определим спектральную плотность экспоненциального импульса вида

изображенного на рис.5.

а)                                                   б)

Рис. 5

В этом случае

Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис.5,б. На частоте  =0 S(0)=A/ ; при  << ; при  >>  ; на частоте  =  . Таким образом, спектральная плотность экспоненциального импульса не имеет нулей и плавно уменьшается с увеличением частоты.

Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением

Во временной области он изображен на рис. 6а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е^{-1/ 2} от амплитуды.

Спектральная плотность определяется через интеграл Фурье:

После замены переменных:

где

,

интеграл приводится к виду

причем

Окончательно получаем

где

Таким образом, спектральная плотность гауссовского импульса является действительной функцией частоты  _s=0) (т.к. сигнал задан четным образом), модуль которой также является гауссовским импульсом (рис. 6б).

а)                                                   б)

Рис. 6

Т.е. гауссовскому спектру соответствует гауссовский импульс, причем чем шире полоса спектра, определяемая на уровне е^{-1/ 2} от максимума величиной b, тем уже условная длительность импульса, определяемая величиной а=1/b, и наоборот.