Произведение двух сигналов

Пусть сигнал s(t)=f(t)g(t), причем функции – сомножители обладают спектральными плотностями и . Определим спектральную плотность произведения. По определению

Подставим в этот интеграл одну из функций, например g(t), выраженную через ее спектральную плотность, т.е.

тогда получим

Здесь, чтобы не путать переменные интегрирования во внутреннем интеграле, используется величина u для обозначения в нем текущей частоты.

Это выражение можно привести к виду, осуществив перестановку соответствующих членов:

Внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала f(t) на частоте  -u, т.е. . Таким образом,

Такого типа интеграл называется сверткой ( с коэффициентом ) спектров сигналов – сомножителей. Итак, произведению сигналов во временной области соответствует свертка сигналов в частотной области ( свертка спектров с коэффициентом ).

Используем это свойство для определения интеграла от произведения двух временных функций. Для этого достаточно определить свертку спектров при  =0, т.е.

Заменяя u на  , F(-  на F^*(  , получаем

Если g(t)=f(t), то

Величина определяет спектральную плотность энергии сигнала. Правая и левая части определяют полную энергию сигнала.

Произведение спектров двух сигналов

Пусть имеется сигнал s(t), спектральная плотность которого представляет собой произведение вида , где спектру соответствует сигнал f(t), а спектру - сигнал g(t). Выразим сигнал s(t) через сигналы g(t) и f(t).По определению:

Проведя выкладки, аналогичные выкладкам предыдущего параграфа, получим:

т.е. произведению сигналов в частотной области (спектров) соответствует свертка сигналов во временной области. Это свойство преобразования Фурье используется при анализе прохождения сигналов через линейные цепи .

Дифференцирование и интегрирование сигналов

Обратное преобразование Фурье для сигнала s(t) представляет собой сумму гармонических составляющих конечной амплитуды ,если s(t) периодическая функция, или составляющих бесконечно малой амплитуды S(  )d  для непериодического сигнала:

или

Дифференцирование по времени сигнала эквивалентно дифференцированию по времени правых частей соотношения    (*) или (**):

Таким образом, периодическому сигналу соответствует спектр с амплитудами

.

а спектральной плотности сигнала

соответствует спектральная плотность

Аналогично можно показать, что если

то в случае периодического сигнала коэффициенты ряда Фурье

,

и в случае непериодического сигнала

Использовать данное свойство преобразования Фурье целесообразно только для сигналов, у которых или S(0)=0, т.е. для сигналов с нулевой площадью:

т.к. иначе получим что означает бесконечность энергии проинтегрированного сигнала, тчо невозможно.