Преобразование Лапласа на плоскости комплексной частоты

Тригонометрическая и экспоненциальная формы ряда Фурье представляют вещественный сигнал s(t) в зависимости от действительной частоты  . Преобразование Лапласа - более общий способ описания сигналов, позволяющий значительно упростить анализ прохождения сигналов через линейные цепи, особенно при быстро меняющихся импульсных воздействиях, когда важны переходные процессы.

Преобразование Лапласа использует методы контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты р=  +j  , где  и  действительные числа. Это преобразование справедливо и для тех сигналов, для которых интегралы Фурье не сходятся.

Односторонним прямым преобразованием Лапласа для функции s(t), существующей при 0<t< , называется интеграл вида

Обратным преобразованием Лапласа является соотношение

Сигнал s(t) называется оригиналом, а его представление по Лапласу или операторная функция называется изображением.

Переход от оригинала к изображению и наоборот принято условно изображать так:

Большим преимуществом преобразования Лапласа является его простая связь с преобразованием Фурье. Для этого необходимо лишь осуществить замену р  j  :