Взаимная заменяемость частоты и времени в паре преобразований Фурье

Если функция s(t) четна относительно t, то ее спектральная плотность является вещественной функцией, т.к. в этом случае

второй интеграл в силу нечетности синуса равен нулю. Для четной функции можно произвольно выбирать знак в экспоненте для прямого и обратного преобразования Фурье, так как и сама функция s(t) и ее спектральная плотность четные относительно оси ординат. Запишем выражение для s(t) через обратное преобразование Фурье, выбрав знак минус в экспоненте

,

и осуществим замену  на t и t на  . Получим

Интеграл в этом выражении можно рассматривать как спектральную плотность S'(  ) новой функции S(t), полученной заменой  на t.

Тогда имеем 2s()=S'(), т.е. спектральная плотность этой новой функции равна 2 , умноженная на спектральную плотность сигнала, полученного в результате замены t на некоторой временной функции s(t).

Таким образом, если четному колебанию s(t) соответствует спектральная плотность S(), то четному колебанию S(t) соответствует спектральная плотность 2s().

В качестве примера рассмотрим сигналы, один из которых имеет вид одиночного прямоугольного импульса (рис. 8а), а второй обладает прямоугольной спектральной плотностью (рис. 8б).

Рис. 8

Сигналу соответствует знакопеременная спектральная плотность , имеющая максимум A  при =0, нули на частотах (см.рис.9а).

Рис. 9

В соответствии с теоремой взаимности сигналу со спектральной плотностью, показанной на рис.8б, соответствует временная функция , показанная на рис. 9б.

Данное свойство удобно использовать в тех случаях, когда по известной паре преобразований Фурье можно найти временную функцию, спектр которой соответствует временной функции известного сигнала, и наоборот.