Связь между автокорреляционной функцией и спектром сигнала

Из свойств преобразований Фурье известно, что спектр произведения двух сигналов

определяется соотношением свертки:

В частном случае при получается:

Если положить теперь , ,

То

,

В этом случае получаем для автокорреляционной функции следующее выражение

Так как , то

Величина S²() имеет смысл спектральной плотности энергии сигнала.

При этом прямое преобразование Фурье можно записать в виде:

Таким образом, спектральная плотность энергии сигнала связана с автокорреляционной функцией парой преобразований Фурье, что означает однозначную связь ширины частотного спектра и длительности АКФ:

чем шире полоса частот, занимаемая сигналом, тем меньше интервал корреляции, т.е. сдвиг x, в пределах которого корреляционная функция отлична от нуля, и наоборот.

Кроме того, поскольку АКФ не зависит от ФЧХ сигнала, а на форму функции существенно влияет её ФЧХ, то можно сказать, что различным по форме сигналам, обладающим одинаковыми АЧХ и разными ФЧХ, соответствуют одинаковые АКФ.