Основные свойства преобразования Лапласа

а) Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т.е. если s(t)=a f(t)+b g(t), то S(p)=a F(p)+b G(p).

Это свойство вытекает из линейности операции преобразования Лапласа.

б) Производная оригинала равна изображению исходного сигнала, умноженного на р, за вычетом значения оригинала в точке t=0, т.е.

в) Изображение интеграла от оригинала равно изображению оригинала, деленного на р, т.е.

Определение оригинала по изображению

Для определения оригинала по изображению самым общим (и самым сложным) методом является взятие интеграла обратного преобразования Лапласа:

Рис. 1

Величина С>0 в пределах интеграла ограничивает на комплексной плоскости область интегрирования (рис.1). Значение постоянной С определяется характером функции S(p)e^pt : путь интегрирования (на рис.1 он проходит по прямой С-j  , C+j  ) должен проходить правее полюсов этой функции.

Можно вместо прямого пути интегрирования образовать замкнутый контур (пунктир на рис.1) добавлением дуги конечного радиуса, причем величина этого радиуса должна быть такова, чтобы в контуре интегрирования оказались бы все полюса функции S(p). Для функций s(t),определенных для t>0, контур должен быть расположен в левой полуплоскости.

Получение оригинала в этом случае сводится к определению:

где    - сумма вычетов в полюсах функции S(p) .

Вычет определяется следующим образом.

При наличии полюсов изображение всегда можно представить в виде отношения двух полиномов

Полюсами функции S(p) будут корни уравнения W(p)=0, т.е. нули знаменателя.

Если функция S(p) имеет в точке p₁ простой полюс, то

Если полюс p₁ имеет кратность m (m - целое положительное число), то

Более простым способом является использование таблиц соответствия оригинал-изображение для некоторых функций. В таблице 1 даны эти соответствия для некоторых часто встречающихся в радиоэлектронике сигналов.

Таблица 1

В справочниках можно найти более полные таблицы. Однако не всегда можно сразу обратиться к таблице. В этом случае можно провести такие алгебраические преобразования изображения, чтобы привести его к табличным функциям.