21. Двухфазная модель ад в раздельных осях статора и ротора

1-й и 2-й недостатки математической модели АД в физических переменных устраняются путем перехода к модели АД, в которой статор и ротор представлены в виде двух взаимно перпендикулярных катушек.

В основе двухфазной модели лежит понятие вращающегося обобщенного вектора. Вектор некоторой совокупности физических сигналов называется обобщенным, если его проекции на выбранные оси являются мгновенными значениями физических сигналов.

На рис.21.1 в верхнем ряду показаны оси трех- и двухфазных обмоток, а в нижнем – эквивалентирование обмоток статора и ротора.

Двухфазные оси α-β статора неподвижны в пространстве, причем ось α совмещена с осью обмотки 1А статора. Двухфазные оси d-q ротора вращаются в пространстве вместе ротором с частотой ω_ЭЛ, причем ось d совмещена с осью обмотки 2А ротора. Обобщенный вектор потокосцепления (или напряжения, или тока) вращается в пространстве с частотой ω₁ напряжения питания статора АД. Проекции на оси обмоток статора являются мгновенными значениями потокосцеплений этих обмоток, что доказывается вычислениями по построениям на рис.21.1:

(21.1)

Проекции на оси α-β являются мгновенными значениями потокосцеплений по этим осям, что доказывается вычислениями:

(21.2)

Можно утверждать обратное, что потокосцепления трехфазных обмоток, определяемые формулами (21.1), и потокосцепления двухфазных обмоток, определяемые формулами (21.2), дают одно и то же результирующее потокосцепление статора. Значит, после подмены реальной трехфазной обмотки на двухфазную с взаимно-перпендикулярными осями α и β, результирующее потокосцепление статора, которое вращается в пространстве с частотой ω₁, работа АД не изменится.

Точно также можно заменить трехфазную обмотку ротора, а также многофазную обмотку короткозамкнутого ротора, на двухфазную обмотку с взаимно-перпендикулярными осями d и q. Потокосцепления таких обмоток согласно рис.21.1 вычисляются по формулам:

(21.3)

Теперь можно составить систему дифференциальных уравнений для АД с двухфазными обмотками статора и ротора

(21.4)

где суммарные потокосцепления Ψ_α, Ψ_β, Ψ_d и Ψ_q всех четырех двухфазных обмоток с учетом построений на рис.21.1 определятся формулами:

(21.5)

Напряжения питания u_α, u_β, u_d и u_q двухфазных обмоток изменяются с частотами трехфазного АД - в статоре с частотой ω₁, в роторе с частотой ω₂.

Преимущества двухфазной модели АД с раздельными осями статора (оси α-β) и ротора (оси d-q):

1) количество дифференциальных уравнений обмоток уменьшилось до 4-х (в трехфазной модели 6 уравнений);

2) количество слагаемых в выражениях полных потокосцеплений обмоток уменьшилось до 3-х (в трехфазной модели 6 слагаемых).

Недостаток только один: выражения потокосцеплений (21.5) являются нелинейными функциями, поэтому и дифференциальные уравнения (21.4) также нелинейные. Решить эти уравнения аналитически невозможно.