Аннотация дисциплины «Вычислительная математика»

Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 часов).

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины является: рассмотрение численных методов решения задач алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений, а также освоение методологических подходов разработки численных вычислений и изучение основных методов для решения задач исследовательского и прикладного характера.

Задачей изучения дисциплины является: освоение методов вычислительной математики: правил приближенных вычислений, численных методов решения нелинейных уравнений и систем, систем линейных уравнений, теории интерполирования, численного дифференцирования и интегрирования, использование численных методов для обработки экспериментальных данных, численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений в постановке задач Коши и краевых задач, численных методов решения уравнений с частными производными, численных методов решения интегральных уравнений.

Структура дисциплины (распределение трудоемкости по отдельным видам аудиторных учебных занятий и самостоятельной работы):

Основные дидактические единицы (разделы):

1. Предмет вычислительной математики. Математические модели и вычислительные алгоритмы. Элементы теории погрешностей. Принцип включения-выключения. Прогрессии. Числа Фибоначчи. Принцип Дирихле. Перестановки и сочетания. Рекуррентные соотношения. Основная теорема рекуррентных соотношений.

2. Интерполяция и приближение. Постановка задачи приближения функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция с кратными узлами. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона. Уравнения в конечных разностях. Погрешность интерполяционных формул. Интерполяционные сплайны. Использование формулы Тейлора. Вычисление элементарных и специальных функций. Многомерные интерполяционные сплайны первой степени. Кубические и бикубические сплайны. Приближение кривых и поверхностей.

3. Численное дифференцирование и интегрирование. Построение формул численного дифференцирования. Погрешность формул численного дифференцирования. Формула Симпсона. Формулы Ньютона — Котеса и оценки их погрешности. Формулы Гаусса.

4. Численное решение нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Метод Ньютона и метод секущих. Методы на основе интерполяции. Проблема локализации корней.

5. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса и метод прогонки. Мультипликативные разложения. Метод Холецкого (квадратного корня). Общая схема итерационных методов. Метод простой итерации. Методы Якоби и Зейделя. Методы верхней и нижней релаксации. Задача на собственные значения и метод вращения.

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Методы Эйлера и Рунге — Кутты. Жесткие задачи для дифференциальных уравнений. Численное интегрирование краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечно-разностные методы.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

- четкое представление о видах математических моделей, основанных на численных методах, о способах их построений, о численных методах реализации математических моделей;

уметь:

- применять на практике методы численного анализа;

- разрабатывать алгоритм применяемого метода решения;

- реализовать численный алгоритм программно с помощью инструментальных средств и прикладных программ;

- анализировать полученные результаты; оценивать погрешность вычислений;

владеть:

- методологией и навыками применения численных методов для решения прикладных задач;

- самостоятельно осуществлять выбор методики решения и построения алгоритма той или иной задачи;

- давать полный анализ результатов решения и оценивать границы применимости выбранного метода.

Виды учебной работы: лекции, лабораторные работы, практические занятия, самостоятельная работа (изучение теоретического курса, домашние задания).

Изучение дисциплины заканчивается экзаменом.